Toán 12 Tích phân VDC

[huogn1069@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0;3] thỏa mãn f(3) = 4; [tex][f'(x)]^{2}=8x^{2}-20-4f(x)[/tex]. Tính [tex]I=\int_{0}^{3}f(x)dx[/tex]
A -9
B -6
C 9
D 21
Câu 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [tex][0;\frac{\pi }{2}][/tex] thỏa mãn [tex]\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}[f^{2}(x)-2\sqrt{2}f(x)sin(x-\frac{\pi }{4})]dx[/tex] [tex]=\frac{2-\pi }{2}[/tex]. Tính [tex]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx[/tex]
A [tex]\frac{\pi }{4}[/tex]
B 0
C 1
D [tex]\frac{\pi }{2}[/tex]
Câu 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [tex][0;\frac{\pi }{4}][/tex] thỏa mãn [tex]f(\frac{\pi }{4})=1[/tex] và thỏa mãn 2 điều kiện [tex]\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{x^{2}f(x)}{(xsinx+cosx)^{2}}dx=\frac{4-\pi }{4+\pi }; \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{xf'(x)}{cosx.(xsinx+cosx)}dx=0[/tex]. Tính [tex]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{f(x)}{cos^{2}x}dx[/tex]

 

[huogn1069@gmail.com]

 

[Ivysaur]

Câu 1: Trong tích phân [tex]I=\displaystyle\int_0^3f(x)\;dx[/tex] đặt [tex]\begin{cases}u=f(x)\quad\Rightarrow\quad du=f'(x)\;dx\\dv=du\quad\Rightarrow\quad v=x\end{cases}[/tex] thì theo công thức tích phân từng phần ta có:

[tex]I=\Big[xf(x)\Big]_0^3-\displaystyle\int_0^3xf'(x)\;dx=3\times4-\displaystyle\int_0^3xf'(x)\;dx=12-\displaystyle\int_0^3xf'(x)\;dx[/tex] .

Suy ra: [tex]\qquad\displaystyle\int_0^3xf'(x)\;dx=12-I[/tex].

Sử dụng bất đẳng thức tích phân: [tex]\quad\displaystyle\left[\int_a^bf(x)g(x)\right]^2\le\left[ \displaystyle\int_a^bf^2(x)\;dx\right]\left[ \displaystyle\int_a^bg^2(x)\;dx\right][/tex] ta có:

[tex](12-I)^2=\left[\displaystyle\int_0^3xf'(x)dx\right]^2\le\left(\displaystyle\int_0^3x^2dx\right)\left[\displaystyle\int_0^3\left(f'(x)\right)^2dx\right]=\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^3\times\displaystyle\int_0^3\left[8x^2-20-4f(x)\right]dx=9\left(12-4I\right)[/tex].

Biến đổi

[tex](12-I)^2\le9(12-4I)\quad\Leftrightarrow\quad(I+6)^2\le0\quad\Leftrightarrow\quad\boxed{I=-6}[/tex] .

 

[tieutukeke]

Câu 2:


À dòng thứ 2 khai triển hằng đẳng thức ra không còn dấu bình phương bên ngoài ngoặc vuông, mình gõ công thức trong word do lười biếng nên ctrl C từ dòng trên ctrl V luôn xuống mà quên ko xóa bình phương

Câu 3 nhìn cái đề dài dòng văn tự đã không muốn nghĩ rồi

 

[Ivysaur]

Ta sẽ dùng các kết quả sau(bạn có thể dễ dàng kiểm tra):

• [tex]\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}2\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)dx=\dfrac{\pi-2}{2},[/tex]
  
• [tex]\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)dx=0.[/tex]
  
• Nếu [tex]\displaystyle\int_a^bF^2(x)dx=0[/tex] thì [tex]F(x)=0\quad\forall x\in[a,b][/tex] .

[tex]\dfrac{2-\pi}{2}=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[f^2(x)-2\sqrt{2}f(x)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right]dx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left\{\left[f(x)-\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right]^2-2\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right\}dx[/tex]

[tex]=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[f(x)-\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right]^2dx-\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}2\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)dx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[f(x)-\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right]^2dx-\dfrac{\pi-2}2[/tex] .

Suy ra

[tex]\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[f(x)-\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right]^2dx=0\quad\Rightarrow\quad f(x)-\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\quad\Rightarrow\quad f(x)=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).[/tex]

[tex]\therefore\qquad\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)dx=\boxed{0}.[/tex]

 

[huogn1069@gmail.com]

Quá zữ Có ai nghĩ được câu 3 chưa ạ

 

[tieutukeke]

Quá zữ Có ai nghĩ được câu 3 chưa ạ

Bạn để ý rằng tích phân thứ nhất và thứ 3 mà nhân với nhau thì gần giống giống kiểu tích phân ở giữa bình phương lên, mình nghĩ hướng đột phá sẽ nằm ở đó, nhưng nhìn sin cos dài dòng quá lại có cả tử lẫn mẫu nên đạo hàm có vẻ mệt, mình bỏ qua luôn ko thèm nghĩ tiếp, bạn giải hướng đó thử xem, kết hợp với BĐT tích phân