tích phân truy hồi

[vnchemistry73]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
1.[TEX]{I_n} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^n}x.d{\rm{x}}} [/TEX]
2.[TEX]{I_n} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^n}x.d{\rm{x}}} [/TEX]
3.[TEX]{I_n} = \int\limits_0^1 {{x^n}\sqrt {1 - x} .d{\rm{x}}} [/TEX]
Bài 2:
cho [TEX]{I_n} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^n}x.d{\rm{x}}} [/TEX]
1. CM [TEX]{I_n} > {I_{n + 1}}[/TEX]
2. Tìm hệ thức liên hệ giữa [TEX]{I_n} và {I_{n + 2}}[/TEX]

 

[vnchemistry73]

anh giải lại bài 1.3 dùm!!!!!
còn bài 2 thì tìm qhệ giữa I(n) và I(n+2) mà

 

[tuyn]

Bài 1:
1.[TEX]{I_n} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^n}x.d{\rm{x}}} [/TEX]

[TEX]I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n-1}xd(cosx)=sin^{n-1}xcosx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)cos^2xsin^{n-2}xdx[/TEX]
[TEX]=(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx-(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n-2}xdx=(n-1)I_n-(n-1)I_{n-2} \Leftrightarrow I_n=\frac{n-1}{n-2}I_{n-2}[/TEX]

2.[TEX]{I_n} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^n}x.d{\rm{x}}} [/TEX]

[TEX]I_n=-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}cos^{n-1}xd(sinx)=-cos^{n-1}xsinx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^2xcos^{n-2}xdx=(n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^nxdx-(n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{n-2}xdx=(n-1)I_n-(n-1)I_{n-2} \Leftrightarrow I_n=\frac{n-1}{n-2}I_{n-2}[/TEX]

3.[TEX]{I_n} = \int\limits_0^1 {{x^n}\sqrt {1 - x} .d{\rm{x}}} [/TEX]

Đặt [TEX]t=\sqrt{1-x} \Leftrightarrow x=1-t^2 \Rightarrow dx=-2tdt[/TEX]
[TEX]I_n=2\int_{0}^{1}t^2(1-t^2)^ndt=\int_{0}^{1}t(1-t^2)^ndt(1-t^2)[/TEX]
[TEX]=-\frac{1}{2(n+1)} int_{0}^{1}td(1-t^2)^{n+1}}[/TEX]
[TEX]=-\frac{1}{2(n+1)}t(1-t^2)^{n+1}|_{0}^{1}+\frac{1}{2(n+1)} \int_{0}^{1} (1-x^2)^{n+1}dx=\frac{1}{2(n+1)}I_{n+1}[/TEX]

Em xem cách làm đi nhé.Rối mắt quá

[/TEX][/TEX]

Bài 2:
cho [TEX]{I_n} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^n}x.d{\rm{x}}} [/TEX]
1. CM [TEX]{I_n} > {I_{n + 1}}[/TEX]
2. Tìm hệ thức liên hệ giữa [TEX]{I_n} và {I_{n + 2}}[/TEX]

2)[TEX]I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} [tan^{n-2}(tan^2+1)-tan^{n-2}x]dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}tan^{n-2}xd(tanx)-I_{n-2}=\frac{1}{n-1}tan^{n-1}|_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{n-1}+I_{n-2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow I_n=\frac{1}{n-1}+I_{n-2}[/TEX]
1) CM xét hàm số:
[TEX]f(x)=tanx,x \in [0;\frac{\pi}{4}][/TEX]
[TEX]f'(x)=tan^2x+1 > 0[/TEX]
suy ra hàm số đồng biến \Rightarrow [TEX]f(x) \leq f( \frac{\pi}{4})=1 \Rightarrow tan^{n+1}x \leq tan^nx[/TEX]
[TEX]\Rightarrow I_{n+1} \leq I_n[/TEX]