2 bài này bạn có thể dùng phương pháp tích phân từng phần tính như sau:
Câu 1:
$
\ I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{xdx}}{{{{\cos }^2}x}}} \ $ Đặt:
$
\ \left\{ \begin{array}{l}
x = u\\
\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = dv
\end{array} \right.\ $ \Rightarrow $
\ \left\{ \begin{array}{l}
dx = du\\
\tan x = v
\end{array} \right.\ $ Lúc đó:
$
\ I = \left. {x.\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xdx = } \frac{\pi }{4} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}} \ $
Câu 2:
$
\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{x\cos xdx}}{{{{\sin }^3}x}}} \ $ Đặt:
$
\ \left\{ \begin{array}{l}
x = u\\
\frac{{\cos xdx}}{{{{\sin }^3}x}} = dv
\end{array} \right.\ $ \Rightarrow $
\ \left\{ \begin{array}{l}
dx = du\\
\frac{{ - {{\cot }^2}x}}{2} = v
\end{array} \right.\ $ Lúc đó:
$
\ I = \left. { - x.\frac{{{{\cot }^2}x}}{2}} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} + \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{{\cot }^2}x}}{2}dx = } \frac{{7\pi }}{{36}} + \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx = } \frac{{7\pi }}{{36}} + \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx = } \frac{{7\pi }}{{36}} + \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right)dx} \ $
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn