tích phân lạ????

[pe_kho_12412]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

nhờ hocmai.toanhoc hay bạn nào biết thì chỉ giùm với, tại cái đề này chưa gặp
cho hàm số f(x) liên tục trên R và [TEX]f( x) + f(-x) = cos ^4x[/TEX] với mọi x thuộc R. tính:

[TEX]I = \int_{\frac{-{\pi}}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx[/TEX]

 

[hocmai.toanhoc]

Chào em!
Tích phân dạng [TEX]I=\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=I_1+I_2[/TEX]
Tính [TEX]I_1=\int_{-a}^{0}f(x)dx[/TEX]đặt [TEX]x = -t \Rightarrow dx = -dt[/TEX]
Vậy ta có:[TEX]I=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx=I_1+I_2[/TEX]
Tính [TEX]I_1=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{0}f(x)dx[/TEX]
Đặt [TEX]x=-t \Rightarrow dx=-dt[/TEX]
Vậy ta có: [TEX]I_1=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}f(-t)(-dt)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(-t)dt[/TEX]
Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên em có:[TEX]I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(-t)dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(-x)dx[/TEX]
Vậy [TEX]I=I_1+I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(-x)dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(f(x)+f(-x))dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^4xdx[/TEX]
Hạ bậc [TEX]cos^4x=(cos^2x)^2=(\frac{cos2x+1}{2})^2[/TEX]
Đến đây em biết làm rồi chứ!

 

[peihsen_doyle]

Với những thế này mình nên chú ý đề nó cho f(x) + f(-x) thì phải nghĩ ra ngay là đặt: x=-t. Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên làm 1 hồi nó truy hồi về như cũ