tích phân khó

E

echcomechcom

T

thienlong233

bài 1.

đặt x=( pi/2 - t)

-->dx=-dt

đổi cận t từ pi/2---->0

khi đó bạn sẽ có t

I= tích phân [ cos(pi/2-t) : [sin(pi/2) + cos(pi/2)]^3]

I= tích phân [sint: [sint+cost]^3]

do tích phân ko phụ thuộc vào cách chọn biến

nên tích phân [sint: [sint+cost]^3] = tích phân [sinx: [sinx+cosx]^3]

lấy I+I ta có

2I=tích phân [ (sinx+cosx): (sinx+cosx)^3] =tích phân [ 1: (sinx+cosx)^2 ]

đến đây đơn giản rồi sinx+cosx)^2 = 1/2.sin(pi/4+x)^2 sau đó đưa ra nguyên hàm = -2cot(pi/4-x)

bạn tự thay cận nhé, tốt nhất là viết ra giấy để hiểu rõ, ko quen gõ công thức toán lắm :D
 
T

trantien.hocmai

$\text{sư dụng nguyên hàm phụ} \\
G=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3} dx \\
I+G=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x+\cos x}{(\sin x+\cos x)^3}dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{(\sin x+\cos x)^2} \\
=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{2.\sin ^2(x+\frac{\pi}{4})} \\
I-G=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x-\cos x}{(\sin x+\cos x)^2}dx=-\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{d(\sin x+\cos x)}{(\sin x+\cos x)^2}\\$

$\text{cách khác} \\
\text{tiếp tục sử dụng nguyên hàm phụ} \\
G=\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^2}dx \\
I+G=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x+\cos x}{(\sin x+\cos x)^2}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x+\cos x} \\
I-G=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{(\sin x+\cos x)^2}dx =-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d(\sin x+\cos x)}{(\sin x+\cos x)^2}$

$\text{6} \\
1+log_{\frac{1}{3}}x \ge 0 \\ \begin{cases} x > 0 \\ 1-log_3x \ge 0 \end{cases} \\
\leftrightarrow \begin{cases} x>0 \\ log_3x \le 1 \end{cases} \leftrightarrow 0<x \le 3 \\
\text{đk...} \\
\sin x.\tan 2x+\sqrt{3}(\sin x-\sqrt{3}\tan 2x)=3\sqrt{3} \\
\leftrightarrow \sin x.\sin 2x+\sqrt{3}(\sin x.\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x)-3\sqrt{3}\cos 2x=0 \\
\leftrightarrow \sin x.\sin 2x+\sqrt{3}\sin x.\cos 2x-3\sin 2x-3\sqrt{3}\cos 2x=0 \\
\leftrightarrow \sin x(\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x)-3(\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x)=0 \\
$

$\text{bài này ta giải như sau} \\
\text{dễ thấy SH là đường cao của chóp, gọi M là trung điểm của cạnh AB nên ta có} \\
MB=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2} \\
2HA=HB \rightarrow HB=\frac{AB}{3}=\frac{a}{3} \\
MH=MB-HB=\frac{a}{6} HC=\sqrt{CM^2+MH^2}=\frac{a\sqrt{7}}{3} \\
\tan \widehat{SCD}=\frac{SH}{HC} \rightarrow SH=\frac{a\sqrt{21}}{3} \\
\text{tới đây tự tính}$

$\text{gọi M thuộc đường thẳng d }: x+y+2=0 \text{nên ta có } M(t;-2-t) \\
H(x_o;y_o) \in (C): (x-1)^2+(y-2)^2=4 \text{ phương trình tiếp tuyến qua điểm H là} \\
d_1: (x_o-1)(x-1)+(y_o-2)(y-2)=4 M \in d_1 \text{ nên ta có} \\
(x_o-1)(t-1)+(y_o-2)(-2-t-2)=4 \leftrightarrow (t-1)x_o-(t+4)y_o+t+5=0 (1)\\
\text{ta thấy toạ độ 2 điểm A,B thoả mãn (1) nên (1) là phương trình AB nên ta có } \\
AB: (t-1)x-(t+4)y+t+5=0 N(2;1) \in AB \text{ nên} \\
(t-1).2-(t+4).1+t+5=0 \leftrightarrow t=\frac{1}{2} \\
\text{xong rồi nhá}$

$PT \rightarrow \sqrt{1+\sqrt{1-(x-1)^2}}+\sqrt{1-\sqrt{1-(x-1)^2}}=2(x-1)^4[2(x-1)^2-1] (1)\\
\text{điều kiện }1-(x-1)^2 \ge 0 \leftrightarrow (x-1)^2 \le 1 \\
\text{đặt }t=(x-1)^2 \ge 0 \rightarrow t \in [0;1] \\
(1) \leftrightarrow \sqrt{1+\sqrt{1-t}}+\sqrt{1-\sqrt{1-t}}=2t^2(2t-1) (2)\\
\text{với } t \in [0;\frac{1}{2}] \text{ thì phương trình }(2) \text{có} \\
\begin{cases} VT \ge 0 \\ VP=0 \end{cases} \rightarrow (2) \text{ vô nghiệm với }\\
t \in [0;\frac{1}{2}] \\
\text{với } t \in [\frac{1}{2};1] \text{, bình phương hai vế (2) ta được } \\
(2) \leftrightarrow 2+2\sqrt{t}=4t^4(2t-1)^2 \leftrightarrow \frac{1}{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}=2t^3(2t-1)^2 (3)\\
\text{nhận thấy t=1 là một nghiệm của phương trình (3)} \\
\text{xét hàm số }f(t)=\frac{1}{t}+\frac{1}{\sqrt{t}} \text{ trên đoạn } t \in [\frac{1}{2};1] \\
f'(t)=-\frac{1}{t^2}+\frac{1}{2\sqrt{t}} < 0 t \in [\frac{1}{2};1] \\
\rightarrow f(t) \text{nghịch biến trên }[\frac{1}{2};1] \\
\text{xét hàm số } h(t)=2t^3(2t-1)^2 \text{trên đoạn } [\frac{1}{2};1] \\
g'(t)=6t^2(2t-1)^2+4t^3(2t-1) > 0 t \in [\frac{1}{2};1] \rightarrow g(t) \text{đồng biến trên }[\frac{1}{2};1] \\
\text{vậy t=1 là một nghiệm duy nhất của (3)} \rightarrow x=0 \text{ hoặc } x=2$

$\text{giải } \\
\text{đặt }log_6x=t \leftrightarrow x=6^t \\
\text{ta có} \\
log_2(6^t+3^t)=t \leftrightarrow 6^2+3^t=2^t \leftrightarrow 3^t+(\frac{3}{2})^t=1 \\
\text{xét hàm số } f(t)=3^t+(\frac{3}{2})^t \\
\text{hàm số } f(t) \text{luôn đồng biến} \\
\text{nhẩm nghiệm x=-1 thoả mãn, vậy phương trình có nghiệm là x=-1}$

$\text{giải } \\
log_{2x-1}(2x^2+x-1)+log_{x+1}(2x-1)^2=4 (1) \\
\text{đk....} \\
(1) \leftrightarrow log_{2x-1}(2x^2+x-1)+\frac{2}{log_{2x-1}(x+1)}=4 \\
\leftrightarrow (1+log_{2x-1}(x+1))+\frac{2}{log_{2x-1}(x+1)}-4=0 \\
\text{đặt }t=log_{2x-1}(x+1) \\
\text{ta có} \\
(1+t)+\frac{2}{t}-4=0 \leftrightarrow t^2-3t+2=0 \leftrightarrow ....$

$\text{giải} \\
y=\frac{k \sin x+1}{2+\cos x} \leftrightarrow 2y+y.\cos x=k.\sin x+1 \\
\leftrightarrow k.\sin x-y.\cos x=2y-1 \\
\text{điều kiện để phương trình này có nghiệm là } \\
(2y-1)^2 \le k^2+y^2 \leftrightarrow 3y^2-4y+1-k^2 \le 0 \\
\frac{4-\sqrt{12k^2+4}}{6} \le y \le \frac{4+\sqrt{12k^2+4}}{6} \\
\rightarrow Miny=\frac{4-\sqrt{12k^2+4}}{6} \\
\text{theo ycbt thì ta có} \\
\frac{4-\sqrt{12k^2-32}}{6} \le -1 \leftrightarrow 4-\sqrt{12k^2+} \le -6 \\
\leftrightarrow 10 \le \sqrt{12k^2+4} \leftrightarrow 100 \le 12k^2+4 \\
\leftrightarrow 8 \le k^2 \leftrightarrow k \le -2\sqrt{2} \text{ hoặc } k \ge 2\sqrt{2}$

$\text{giải} \\
\text{điều kiện } 0< x \not=1 \\
\sqrt{log_{2x}64+log_{x^2}16}=\sqrt{6.log_{2x}2+2log_x2} \\
=\sqrt{\frac{6}{1+log_2x}+\frac{2}{log_2x}} \\
\text{đặt }t=log_2x \text{ ta có } \\
\sqrt{\frac{6}{1+t}+\frac{2}{t}}=\sqrt{\frac{8t+2}{t^2+t}} \\
\text{điều kiện của t là }\frac{8t+2}{t^2+t} \ge 0 \\
\leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} -1< t \le -\frac{1}{4} \\ x >0
\end{array} \right. \\
\text{ta có } \\
\sqrt{\frac{8t+2}{t^2+t}} >3 \leftrightarrow \frac{8t+2}{t^2+t}>9 \\
\leftrightarrow \frac{9t^2+t-2}{t^2+t} < 0 \\
\leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} -1< t <\frac{-1-\sqrt{73}}{18} \\ 0< t<\frac{-1+\sqrt{73}}{18}
\end{array} \right. \\
\text{lấy giao với điều kiện t. Mời bạn đọc giải tiếp}$

$\text{câu 2} \\
\text{TXĐ: D=R} \\
\text{phương trình hoành độ giao điểm là} \\
2x^3-3x^2-mx-1=-1 \leftrightarrow 2x^3-3x^2-mx=0 \\
\leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x=0 \\ 2x^2-3x-m=0 \color{red}{(1)}
\end{array} \right. \\
\text{theo yêu cầu của đề bài thì (1) có 2 nghiệm phân biệt và khác 0} \\
\text{đặt }f(x)=2x^2-3x-m \\
\begin{cases} \Delta=9+8m >0 \\ f(0) \not= 0 \end{cases} \\
\rightarrow t........ \\
\text{đạo hàm } \\
y'=6x^2-6x-m \\
\text{hệ số góc phương trình tiếp tuyến tại B là} \\
k_1=6x_1^2-6x_1-m \\
\text{hệ số góc phương trình tiếp tuyến tại C là} \\
k_2=6x_2^2-6x_2-m \\
\text{theo yêu cầu bài toán thì ta có} \\
k_1.k_2=-1 \leftrightarrow 36(x_1x_2)^2-36x_1^2x_2-6mx_1^2-36x_1x_2^2+36x_1x_2+6mx_1-6mx_2^2+6mx_2+m^2=-1 \\
\text{áp dụng viet là ra.Mời bạn đọc làm tiếp} $
 
Last edited by a moderator:
A

anhsomatem365

nếu thi bí quá thì bấm máy tính lấy kết quả cho lẹ, dc 0.25d òi.
đáp án là 0.56598.. nha bạn
:)
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom