[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
[tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{tan(x-\frac{\pi}{4})}{cos2x}dx[/tex]
Các bạn giải chi tiết giúp mình nhé
Lâu rồi không tham gia trả lời bài tập
đặt [TEX]t=x-\frac{\pi }{4}[/TEX]
---> [TEX]I=\int \frac{tant}{-sin2t}dt=\int \frac{1}{-2cos^2t}dt[/TEX]
|
Bài này khá dài nên mình gợi ý thôi nhé.
Đặt $x=-t,$ ta có $\text{d}x=-\text{d}t.$
$\bullet$ Đổi cận:
$x=-1$ thì $t=1.$
$x=1$ thì $t=-1.$Do đó:
$$I= \int_{1}^{-1} \dfrac{-\text{d}t}{t^2-t+1+\sqrt{t^4+3t^2+1}}= \int_{-1}^1 \dfrac{\text{d}t}{t^2-t+1+\sqrt{t^4+3t^2+1}}$$$$=\int_{-1}^1 \dfrac{\text{d}x}{x^2-x+1+\sqrt{x^4+3x^2+1}}.$$ Vậy:
$$ 2I= \int_{-1}^1 \left(\dfrac{1}{x^2+x+1+\sqrt{x^4+3x^2+1}}+\dfrac{1}{x^2-x+1+\sqrt{x^4+3x^2+1}}\right) \text{d} x $$$$=\int_{-1}^1 \dfrac{2\left( x^2+1+\sqrt{x^4+3x^2+1}\right)}{\left( x^2+x+1+\sqrt{x^4+3x^2+1}\right) \left( x^2-x+1+\sqrt{x^4+3x^2+1}\right)} \text{d} x $$$$=\int_{-1}^1 \dfrac{2\left(x^2+1+\sqrt{x^4+3x^2+1}\right)}{ \left( x^2+1+\sqrt{x^4+3x^2+1}\right)^2-x^2} \text{d} x =\int_{-1}^1 \dfrac{\text{d}x}{x^2+1} $$ Vì:
$$ \left( x^2+1+\sqrt{x^4+3x^2+1}\right)^2 -x^2$$$$=(x^2+1)^2+2(x^2+1)\sqrt{x^4+3x^2+1} +(x^4+3x^2+1)-x^2 $$$$=(x^2+1)^2+2(x^2+1)\sqrt{x^4+3x^2+1}+(x^2+1)^2 $$$$=2(x^2+1)\left( x^2+1+\sqrt{x^4+3x^2+1}\right).$$ Vã mồ hồi luôn.
