- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Nhắc lại: Cho hàm f(x), nếu trên tâp xác định D của f(x), ta lấy x thuộc D thì -x cũng thuộc D:
- f(x) là hàm chẵn nếu f(x)=f(-x)
-f(x) là hàm lẻ nếu f(x)=-f(-x)
Do tính chất hàm chẵn lẻ, ta có:
- Nếu f(x) là hàm chẵn, thì: [tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{a}f(-x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]
- Nếu f(x) là hàm lẻ, thì: [tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=0[/tex]
Một số ví dụ về bài toán tích phân hàm ẩn chẵn lẻ:
1. Cho f(x) thỏa mãn f(x) và f(-x) liên tục trên R, đồng thời: [tex]2f(x)+3f(-x)=\frac{5}{x^2+1}[/tex]. Tính gía trị của [tex]I=\int_{-2}^{2}f(x)dx[/tex].
Giải: Ở đề bài không hề cho f(x) là hàm chẵn, nhưng ở đây vẫn xếp vào dạng chẵn lẻ, bởi vì ở tích phân có tính chất: [tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{a}f(-x)dx[/tex] ( dù không cần f(x) chẵn, vẫn có tính chất đó).
Chứng minh: đặt [TEX]x=-t=>dx=-dt[/TEX], đổi cận, ta được:
[tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{-a}f(-t)dt=\int_{-a}^{a}f(-t)dt=\int_{-a}^{a}f(-x)dx[/tex]
Giờ áp dụng điều này, cùng với giả thiết:
ta có: [tex]5I=\int_{-2}^{2}5f(x)dx=\int_{-2}^{2}2f(x)+3f(-x)d=\int_{-2}^{2}\frac{5}{x^2+1}dx[/tex]
=>[tex]I=\int_{-2}^{2}\frac{1}{x^2+1}dx=arctanx|_{-2}^2=2arctan2[/tex]
2. Cho f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên R. Biết [tex]\int_{0}^{2}f(-x)dx=2;\int_{1}^{2}f(-2x)dx=4.[/tex]. Tính:
[tex]I=\int_{0}^{4}f(x)dx[/tex]
Giải: Trước tiên ta thấy cận dữ kiện khác với cận của I. Thứ 2 là có 1 dữ kiện là f(-x), 1 là f(-2x), như vậy chưa bàn đến cận, ta phải chuyển nó hết về f(x) cái đã.
- Với [TEX]I_1=\int_{0}^{2}f(-x)dx=2[/TEX], đặt -x=t=>-dx=dt, đổi cận, thu được:
[tex]I_1=\int_{0}^{2}f(-x)dx=-\int_{0}^{-2}f(t)dt=\int_{-2}^{0}f(t)dt=\int_{-2}^{0}f(x)dx=2[/tex]
- Với [TEX]I_2=\int_{1}^{2}f(-2x)dx=4[/TEX], làm tương tự như với [TEX]I_1[/TEX], đặt -2x=t, ta sẽ thu được kết quả: [tex]I_2=\int_{-4}^{-2}\frac{f(x)}{2}dx=4=>\int_{-4}^{-2}f(x)dx=8[/tex]
Như vậy, sau khi đổi cận, ta thấy cận đã liên tiếp từ -4 đến 0. Ngược dấu với 2 cận của I. Ta lại đổi biến:
Đặt x=-t, biến đổi tương tự, ta có [tex]I=\int_{0}^{4}f(x)dx=\int_{-4}^{0}f(-x)dx[/tex]
Theo đề cho f(x) là hàm lẻ =>f(x)=-f(-x)=>[TEX]I=-\int_{-4}^{0}f(x)dx[/TEX]
Vậy I=[tex]-(\int_{-4}^{-2}f(x)dx+\int_{-2}^{0}f(x)dx)=-10[/tex]
3. Cho f(x) là hàm số chẵn trên R, và k>0. Tính [tex]I=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+e^{kx}}dx[/tex]
Giải: Đây là 1 câu thường gặp trong các đề thi thử, và có nhiều biến thể, nhưng chung quy đều có f(x) trên tử, và [TEX]1+a^{kx}[/TEX] dưới mẫu. Ta luôn xử lí như sau:
Đặt x=-t=>dx=-dt, đổi cận, thu được tích phân:
[tex]I=\int_{-a}^{a}\frac{f(-x)dx}{1+e^{-kx}}=\int_{-a}^{a}\frac{f(-x)e^{kx}}{1+e^{kx}}dx[/tex]
Do f(x) là hàm chẵn nên ta có: [tex]I=\int_{-a}^{a}\frac{f(-x)e^{kx}}{1+e^{kx}}dx=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)e^{kx}} {1+e^{kx}}dx[/tex]
Lúc này, lấy I+I, ta có:
[tex]2I=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)e^{kx}}{1+e^{kx}}dx+\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+e^{kx}}dx=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)(e^{kx}+1)}{e^{kx}+1}dx=\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]
=> [TEX]I=\int_{0}^{a}f(x)dx[/TEX]
4. Tính tích phân: [tex]I=\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinx}{\sqrt{x^2+1}-x}dx[/tex]
Giải: ở bài này nếu dùng từng phần thì rõ ràng quá phức tạp, hoặc không ra, ta thấy mẫu khi liên hợp sẽ đẹp, nên ta thử liên hợp được:
[tex]I=\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinx(\sqrt{x^2+1}+x)}{x^2+1-x^2}dx=\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}sinx\sqrt{x^2+1}dx+\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}xsinxdx[/tex]
Lúc này ta nhận thấy: [tex]f(x)=sinx\sqrt{x^2+1}[/tex] là hàm lẻ, vì nó liên tục trên R, và :[tex]f(-x)=-sinx\sqrt{x^2+1}=-f(x)[/tex]. Do đó, theo tính chất hàm lẻ, [TEX]\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}sinx\sqrt{x^2+1}dx=0[/TEX]
Vậy tích phân cần tính chỉ là tích phân: [tex]\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}xsinxdx[/tex]. Ta có thể dễ dàng tính được nó bằng tích phân từng phần.
- f(x) là hàm chẵn nếu f(x)=f(-x)
-f(x) là hàm lẻ nếu f(x)=-f(-x)
Do tính chất hàm chẵn lẻ, ta có:
- Nếu f(x) là hàm chẵn, thì: [tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{a}f(-x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]
- Nếu f(x) là hàm lẻ, thì: [tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=0[/tex]
Một số ví dụ về bài toán tích phân hàm ẩn chẵn lẻ:
1. Cho f(x) thỏa mãn f(x) và f(-x) liên tục trên R, đồng thời: [tex]2f(x)+3f(-x)=\frac{5}{x^2+1}[/tex]. Tính gía trị của [tex]I=\int_{-2}^{2}f(x)dx[/tex].
Giải: Ở đề bài không hề cho f(x) là hàm chẵn, nhưng ở đây vẫn xếp vào dạng chẵn lẻ, bởi vì ở tích phân có tính chất: [tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{a}f(-x)dx[/tex] ( dù không cần f(x) chẵn, vẫn có tính chất đó).
Chứng minh: đặt [TEX]x=-t=>dx=-dt[/TEX], đổi cận, ta được:
[tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{-a}f(-t)dt=\int_{-a}^{a}f(-t)dt=\int_{-a}^{a}f(-x)dx[/tex]
Giờ áp dụng điều này, cùng với giả thiết:
ta có: [tex]5I=\int_{-2}^{2}5f(x)dx=\int_{-2}^{2}2f(x)+3f(-x)d=\int_{-2}^{2}\frac{5}{x^2+1}dx[/tex]
=>[tex]I=\int_{-2}^{2}\frac{1}{x^2+1}dx=arctanx|_{-2}^2=2arctan2[/tex]
2. Cho f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên R. Biết [tex]\int_{0}^{2}f(-x)dx=2;\int_{1}^{2}f(-2x)dx=4.[/tex]. Tính:
[tex]I=\int_{0}^{4}f(x)dx[/tex]
Giải: Trước tiên ta thấy cận dữ kiện khác với cận của I. Thứ 2 là có 1 dữ kiện là f(-x), 1 là f(-2x), như vậy chưa bàn đến cận, ta phải chuyển nó hết về f(x) cái đã.
- Với [TEX]I_1=\int_{0}^{2}f(-x)dx=2[/TEX], đặt -x=t=>-dx=dt, đổi cận, thu được:
[tex]I_1=\int_{0}^{2}f(-x)dx=-\int_{0}^{-2}f(t)dt=\int_{-2}^{0}f(t)dt=\int_{-2}^{0}f(x)dx=2[/tex]
- Với [TEX]I_2=\int_{1}^{2}f(-2x)dx=4[/TEX], làm tương tự như với [TEX]I_1[/TEX], đặt -2x=t, ta sẽ thu được kết quả: [tex]I_2=\int_{-4}^{-2}\frac{f(x)}{2}dx=4=>\int_{-4}^{-2}f(x)dx=8[/tex]
Như vậy, sau khi đổi cận, ta thấy cận đã liên tiếp từ -4 đến 0. Ngược dấu với 2 cận của I. Ta lại đổi biến:
Đặt x=-t, biến đổi tương tự, ta có [tex]I=\int_{0}^{4}f(x)dx=\int_{-4}^{0}f(-x)dx[/tex]
Theo đề cho f(x) là hàm lẻ =>f(x)=-f(-x)=>[TEX]I=-\int_{-4}^{0}f(x)dx[/TEX]
Vậy I=[tex]-(\int_{-4}^{-2}f(x)dx+\int_{-2}^{0}f(x)dx)=-10[/tex]
3. Cho f(x) là hàm số chẵn trên R, và k>0. Tính [tex]I=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+e^{kx}}dx[/tex]
Giải: Đây là 1 câu thường gặp trong các đề thi thử, và có nhiều biến thể, nhưng chung quy đều có f(x) trên tử, và [TEX]1+a^{kx}[/TEX] dưới mẫu. Ta luôn xử lí như sau:
Đặt x=-t=>dx=-dt, đổi cận, thu được tích phân:
[tex]I=\int_{-a}^{a}\frac{f(-x)dx}{1+e^{-kx}}=\int_{-a}^{a}\frac{f(-x)e^{kx}}{1+e^{kx}}dx[/tex]
Do f(x) là hàm chẵn nên ta có: [tex]I=\int_{-a}^{a}\frac{f(-x)e^{kx}}{1+e^{kx}}dx=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)e^{kx}} {1+e^{kx}}dx[/tex]
Lúc này, lấy I+I, ta có:
[tex]2I=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)e^{kx}}{1+e^{kx}}dx+\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+e^{kx}}dx=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)(e^{kx}+1)}{e^{kx}+1}dx=\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]
=> [TEX]I=\int_{0}^{a}f(x)dx[/TEX]
4. Tính tích phân: [tex]I=\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinx}{\sqrt{x^2+1}-x}dx[/tex]
Giải: ở bài này nếu dùng từng phần thì rõ ràng quá phức tạp, hoặc không ra, ta thấy mẫu khi liên hợp sẽ đẹp, nên ta thử liên hợp được:
[tex]I=\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinx(\sqrt{x^2+1}+x)}{x^2+1-x^2}dx=\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}sinx\sqrt{x^2+1}dx+\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}xsinxdx[/tex]
Lúc này ta nhận thấy: [tex]f(x)=sinx\sqrt{x^2+1}[/tex] là hàm lẻ, vì nó liên tục trên R, và :[tex]f(-x)=-sinx\sqrt{x^2+1}=-f(x)[/tex]. Do đó, theo tính chất hàm lẻ, [TEX]\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}sinx\sqrt{x^2+1}dx=0[/TEX]
Vậy tích phân cần tính chỉ là tích phân: [tex]\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}xsinxdx[/tex]. Ta có thể dễ dàng tính được nó bằng tích phân từng phần.
