tích phân đổi biến x=a+b-t rất hay và khó

[anhhailua_nc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]a) A=\int_{-pi/6}^{pi/6}\frac{sin^6{x}.cos^6{x}}{2009^x+1}dx[/TEX]

[TEX]b) B=\int_{0}^{1}\frac{ln(1+x)}{1+x^2}dx[/TEX]

[TEX]c) C=\int_{-1/2}^{1/2}x^2.ln(\frac{1-x}{1+x})dx[/TEX]

[TEX]d) D=\int_{0}^{pi/2}ln(\frac{1+sinx}{1+cosx})dx[/TEX]

 

[binhhiphop]

[TEX]a) A=\int_{-pi/6}^{pi/6}\frac{sin^6{x}.cos^6{x}}{2009^x+1}dx[/TEX]

mạn phép :d


[TEX]{\rm{dat x=- t}}[/TEX]

[TEX]\to \left\{ {_{ x = \frac{\Pi }{6} \to t = \frac{{ - \Pi }}{6} \hfill \atop x = \frac{{ - \Pi }}{6} \to t = \frac{\Pi }{6} \hfill}^{dx = - dt} } \right[/TEX]


[TEX]I = \int_{ - \frac{\Pi }{6}}^{\frac{\Pi }{6}} {2009^t \frac{{\sin ^6 t\cos ^6 t}}{{2009^t + 1}}dt} [/TEX]


[TEX] = \int_{ - \frac{\Pi }{6}}^{\frac{\Pi }{6}} {2009^x \frac{{\sin ^6 x\cos ^6 x}}{{2009^x + 1}}dx} = J[/TEX]


[TEX]{\rm{I + J = }}\int_{ - \frac{\Pi }{6}}^{\frac{\Pi }{6}} {2009^x \frac{{\sin ^6 x\cos ^6 x}}{{2009^x + 1}}dx} + \int_{ - \frac{\Pi }{6}}^{\frac{\Pi }{6}} {\frac{{\sin ^6 x\cos ^6 x}}{{2009^x + 1}}dx} [/TEX]


[TEX]2I = \int_{ - \frac{\Pi }{6}}^{\frac{\Pi }{6}} {\sin ^6 x\cos ^6 xdx} [/TEX]



hạ bậc rồi biên đổi tích tổng
đến đây chắc là dc :d
bình luận : cách này hay là không đổi cận nhưng mà như các bạn thấy đến chỗ cuối cùng vẫn là một bài khó chịu, rất cám ơn tác giả vs pp không đổi cận khi đổi biến, bạn nào có cách nào hay thì phang wa đê

 

[trytouniversity]

Giải lun câu B lun đi
Câu C và D giải tích phân từng phần ko có gì khó rồi ?

 

[binhhiphop]

[TEX] [TEX]b) B=\int_{0}^{1}\frac{ln(1+x)}{1+x^2}dx[/TEX]

[TEX]{\rm{dat x = tanu}}[/TEX]

[TEX]I = \int\limits_0^{\frac{\Pi }{4}} {\frac{{\ln (1 + \tan u)}}{{1 + \tan ^2 u}}} *\frac{{d(u)}}{{\cos ^2 u}}[/TEX]

[TEX]I = \int\limits_0^{\frac{\Pi }{4}} {\ln (1 + \tan u)du} [/TEX]


[TEX]{\rm{dat u = }}\frac{\Pi }{4} - t[/TEX]

[TEX] \to \left\{ \begin{array}{l}du = - dt \\ u = 0 \to t = \frac{\Pi }{4} \\ u = \frac{\Pi }{4} \to t = 0 \\ \end{array} \right.[/TEX]


[TEX] \to I = \int\limits_0^{\frac{\Pi }{4}} {\ln (1 + \tan (\frac{\Pi }{4} - t)dt} [/TEX]


[TEX]I = \int\limits_0^{\frac{\Pi }{4}} {\ln (1 + \frac{{\tan \frac{\Pi }{4} - \tan t}}{{1 + \tan \frac{\Pi }{4}*\tan t}})dt}[/TEX]


[TEX]I = \int\limits_0^{\frac{\Pi }{4}} {\ln (1 + \frac{{1 - \tan t}}{{1 + \tan t}})dt[/TEX]

[TEX]I = \int\limits_0^{\frac{\Pi }{4}} {\ln (\frac{2}{{1 + \tan t}})dt}[/TEX]


[TEX]I = \int\limits_0^{\frac{\Pi }{4}} {\ln (2)dt} - \int\limits_0^{\frac{\Pi }{4}} {\ln (1 + \tan t)dt}[/TEX]

[TEX]I = \int\limits_0^{\frac{\Pi }{4}} {\ln (2)dx} - \int\limits_0^{\frac{\Pi }{4}} {\ln (1 + \tan x)dx}[/TEX]


[TEX]2I = x\ln 2\left| \begin{array}{l}\frac{\Pi }{4} \\ 0 \\ \end{array} \right. \to I = \frac{\Pi }{8}\ln 2[/TEX]

 

[vivietnam12345]

Giải lun câu B lun đi
Câu C và D giải tích phân từng phần ko có gì khó rồi ?

bạn trình bày câu C,D bằng tích phân từng phần được chứ
2 câu này thuộc cùng dạng với 2 câu trên

 

[anhhailua_nc]

[TEX]D=\int_{0}^{pi/2}ln(\frac{1+sinx}{1+cons}.dx[/TEX]

Đặt [TEX]x=\frac{pi}{2}-t \Rightarrow dx = -dt[/TEX]

Đổi cận:khỏi nói

[TEX]\Rightarrow D= \int_{pi/2}^{0}ln(\frac{1+sin(pi/2-t)}{1+cos(pi/2-t)}).(-dt)[/TEX]

[TEX]= -\int_{pi/2}^{0}ln(\frac{1+cost}{1+sint}.dt[/TEX]

[TEX]= \int_{0}^{pi/2}ln(\frac{1+cosx}{1+sinx}).dx[/TEX]

[TEX]=-D[/TEX]

[TEX]\Rightarrow D=-D\Rightarrow D=0[/TEX]

khi thay đổi biến x và t thì kết quả bài toán vẫn đc giữ nguyên, vì vậy biến x và t ta ko cần quan tâm
còn câu C cũng tương tự, những bài tích phân này là những bài đặc biệt, ko có cách giải nào khác, nó gọi là tích phân đổi biến x = a+b-t