Cho hàm số y= f(x) liên tục, nhận giá trị không âm trên [tex]\large \mathbb{R}[/tex] và thõa mãn f(x).f '(x)=[tex]\large 2x\sqrt{f^{2}(x)+1}[/tex] và f(0)=0. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y=f(x) trên đoạn [tex]\large \left [ 1;3 \right ][/tex] ?
hàm f liên tục trên R nên cũng liên tục trên [1;3] do đó nó đạt min, max trên đoạn này.
từ hệ thức đã cho suy ra f' luôn tồn tại tức là hàm số có đạo hàm trên R.
với x > 0 ta có [tex]f(x).f'(x) = 2x.\sqrt{f^{2}(x)+1} > 0[/tex] và ngược lại (do f không âm)
vậy f đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
ta thấy: f liên tục trên R và ko âm, đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0, và f(0) = 0, nên suy ra chỉ có 1 giá trị làm cho f bằng 0 đó là tại x = 0, vì nếu có giá trị x1 khác 0 (x1 > 0 chẳng hạn) mà làm cho f = 0 thì suy ra do tính đồng biến của f nên cũng sẽ tồn tại 1 giá trị 0 < x2 < x1 để f(x2) < 0, vô lý.
vậy tóm lại f chỉ = 0 tại 1 giá trị là khi x = 0.
Do đó nó đồng biến trong [1, 3].
suy ra: minf = f(1) và maxf = f(3) trên [1,3]
Ta cần tính f(1) và f(3).
Từ hệ thức đề bài ta cũng suy ra đạo hàm f' sẽ liên tục khi x khác 0 (vì nó = thương của 2 hàm liên tục), còn tại x = 0 ta chưa kết luận gì đc về tính liên tục của đạo hàm f'.
Từ hệ thức ta cũng suy ra tích của 2 hàm f(x).f'(x) là hàm liên tục trên R (vì vế phải là biểu thức liên tục trên R).
Như vậy cả 2 vế của biểu thức đều liên tục trên R, do đó nó có tích phân trên 1 đoạn bất kì [a, b] nào
ta sẽ xét 2 đoạn là [0, 1] và [0, 3]
Lấy tích phân 2 vế trên [a, b] bất kì ta suy ra:
[tex]\int_{a}^{b}f(x).f'(x)dx = \int_{a}^{b}2x.\sqrt{f^{2}(x)+1}dx = \int_{a}^{b}\sqrt{f^{2}(x)+1}.d(x^{2})[/tex]
Tích phân từng phần ta có:
[tex]\int_{a}^{b}f(x).d(f(x)) = x^{2}.\sqrt{f^{2}(x)+1} (cận a và b) - \int_{a}^{b}\frac{x^{2}.f(x).f'(x)}{\sqrt{f^{2}(x)+1}}dx[/tex]
kết hợp với hệ thức đề bài suy ra:
[tex]\frac{f^{2}(b)-f^{2}(a)}{2} = b^{2}.\sqrt{f^{2}(b)+1} - a^{2}.\sqrt{f^{2}(a)+1} - \frac{b^{4}-a^{4}}{2}[/tex]
thay các giá trị đoạn [a,b] bởi [0,1] và [0,3] và tính toán cho ta kết quả cuối cùng:
f(1) = [tex]\sqrt{3}[/tex]
f(3) có 2 giá trị là [tex]3\sqrt{11}, 3\sqrt{7}[/tex]
Nhưng vì hàm số thì ứng với mỗi x chỉ có duy nhất 1 giá trị y thôi nên ta lấy giá trị lớn hơn để làm giá trị max trên đoạn [1,3].
Kết luận: minf = [tex]\sqrt{3}[/tex]
maxf = [tex]3\sqrt{11}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
