Toán Tích phân 12

[kenzmeow009]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho hàm f(x) xác định và liên tục trên [tex]\large (-\infty,-1)[/tex] và [tex]\large f(x-\sqrt{x^{2}-1})=x+\sqrt{x^{2}-1}[/tex], với mọi x [tex]\large \epsilon (-\infty , -1[/tex]]. Tính tích phân I=[tex]\large \int_{-2}^{-1}[/tex] [tex]\large \frac{1}{x-1}f(x)dx ?[/tex]

 

[harrypham]

Ta đầu tiên chứng minh rằng với mọi $a \in [-2,-1]$, tồn tại $x$ sao cho $a \le x \le -1$ và $x-\sqrt{x^2-1}=a$. Thật vậy, ta chọn $x=\frac{a^2+1}{2a}$ là sẽ thoả mãn. Khi đó thì $f(a)=f(x-\sqrt{x^2-1})=x+\sqrt{x^2-1}= \frac 1a$. Do đó $f(x)= \frac 1x$ với mọi $x \in [-2,-1]$. Ta suy ra $\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x-1}f(x) dx= \int_{-2}^{-1} \frac{1}{x(x-1)} dx$.