Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH .Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB,AC chứng minh rằng:
a. HB.HC=MA.MB+NA.NC
b. HB/HC=(AB/AC)^2
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB, ta có: [tex]AH^2=AM.AB[/tex] (1).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC, ta có: [tex]AH^2=AN.AC[/tex] (2).
Từ(1) và (2) ta được: [tex]AM.AB=AN.AC[/tex].
Ta có: AMHN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông). Suy ra MH = AN.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC, ta có: [tex]HN^2=AN.NC[/tex].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB, ta có: [tex]HM^2=AM.MB[/tex].
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AHN, ta có: [tex]AN^2+HN^2=AH^2[/tex].
Mà MH = AN [tex]\Rightarrow MH^2+HN^2=AH^2\Rightarrow BM.MA+AN.NC=BH.HC[/tex]
b. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có: [tex]AC^2=HC.BC[/tex] (1).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có: [tex]AB^2=HB.BC[/tex] (2).
Lấy (2) chia (1) ta được:
[tex]\frac{HB.BC}{HC.BC}=\frac{AB^2}{AC^2}\Rightarrow \frac{HB}{HC}=\frac{AB^2}{AC^2}[/tex].
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
