Toán 12 Tỉ số giữa mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón

[SN2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

hình nón có bán kính đáy bằng 1, chiều cao bằng [tex]2\sqrt{2}[/tex]. tính tỉ số giữa khối cầu nội tiếp và thể tích ngoại tiếp hình nón

 

[leminhnghia1]

hình nón có bán kính đáy bằng 1, chiều cao bằng [tex]2\sqrt{2}[/tex]. tính tỉ số giữa khối cầu nội tiếp và thể tích ngoại tiếp hình nón

bổ dọc hình nón qua đỉnh, ta có thiết diện là một tam giác ABC tại A
Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là tâm ngoại tiếp của nón
Tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ là tâm nội tiếp của nón
Bước 1: Tính R ngoại tiếp
Lấy I là TĐ AB, H là TĐ BC, kẻ IK vuông góc AB (K thuộc AH)
Dễ tính được $AB=3$
$\Delta AKI \sim \Delta ABH \rightarrow AK=R=\dfrac{AI}{AH}.AB=\dfrac{9\sqrt{2}}{8}$
Bước 2: tính r nội tiếp
GS: O là tâm đt nội tiếp tg ABC, dễ thấy O nằm trên AH
Kẻ $OL \perp AB \rightarrow OL=OH=r, \ BL=BH=1 \rightarrow AL=2$
Trong $\Delta AOL$ vuông tại L ta có:
$AO^2=AL^2+OL^2$
$\iff (2\sqrt{2}-r)^2=4+r^2$
$\iff r=\sqrt{2}$
Vậy tỉ số khối cầu nội tiếp và ngoại tiếp là:
$T=\dfrac{v}{V}=\dfrac{r^3}{R^3}=\dfrac{512}{729}$