Cho tam giác ABC có diện tích S, các đường trung tuyến AD, BE, CF. Gọi S' là diện tích tam giác có độ dài ba cạnh bằng AD, BE, CF. Chứng minh rằng S' = 3/4S
Gọi O là giao điểm 3 đường trung tuyến
Trên tia đối của EB lấy K sao cho OE=EK => O là trung điểm BK
=> $OK=OB = \frac{2}{3}.BE$ (1)
Xét tam giác KBC có: O,D lần lượt là trung điểm BK và BC
=> OD là ĐTB tam giác KBC
=> $OD=\frac{1}{2}.KC$
Lại có: $OD=\frac{1}{2}.OA$
=> $KC = OA = \frac{2}{3}.AD$ (2)
Từ (1) và (2)
=> $\frac{OK}{BE}=\frac{KC}{AD}=\frac{2}{3}= \frac{OC}{CF}$
=> Tam giác OKC đồng dạng với tam giác tạo bới 3 đường trung tuyến AD, BE, CF theo tỉ lệ 2/3
=> $\frac{S_{OKC}}{S'}=\frac{4}{9}$ <=> $S_{OKC}=\frac{4}{9}.S'$ (3)
Xét tam giác BKC có CO là trung tuyến
=> $S_{OKC}=S_{BOC}$
Lại có: $\frac{S_{BOC}}{S_{ABD}}=\frac{OD}{AD}=\frac{1}{3}$
$frac{S_{ODC}}{S_{ADC}}=\frac{OD}{AD}=\frac{1}{3}$
và $S_{ABD}=S_{ABO}$ (Tam giác ABC có AD là đường trung tuyến)
=> $S_{OBD}=S_{ODC}=\frac{1}{3}.S_{ABD}=\frac{1}{6}.S$
=> $S_{OKC}=S_{BOC}=S_{OBD}+S_{ODC}=2.\frac{1}{6}S=\frac{1}{3}S$ (4)
từ 3 và 4
=> $\frac{4}{9}.S'=\frac{1}{3}S$
=> đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
