Bài này dài mình chỉ viết kết quả chính thôi,không giải thích tại sao (do phân tích ,thêm bớt mà ra) khi trình bày có thể đi ngược lại.C/m bằng pp SOS,đưa bđt về dạng (a-b)^2.M+(a-c)^2.N+(b-c)^2.P>=0.Ai có cách giải ngắn hơn thì post lên,đỡ mất công sức mình type.
[tex]\frac{a}{b^2+c^2} +\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{9} {2a+2b+2c}[/tex]
<=>[tex]\frac{2a(a+b+c)}{b^2+c^2} +\frac{2b(a+b+c)}{a^2+c^2}+\frac{2c(a+b+c)}{a^2+b^2}-9 \geq 0[/tex]
<=>[tex]\frac{2a^2}{b^2+c^2} +\frac{2b^2}{a^2+c^2}+\frac{2c^2}{a^2+b^2}-3 + \frac{2ab+2ac}{b^2+c^2}+\frac{2bc+2ba}{a^2+c^2}+\frac{2cb+2ca}{a^2+b^2}-6 \geq 0[/tex]
Ta chứng minh :
[tex]\frac{2a^2}{b^2+c^2} +\frac{2b^2}{a^2+c^2}+\frac{2c^2}{a^2+b^2}-3
=\frac{(a-b)^2.(a+b)^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}+\frac{(a-c)^2(a+c)^2}{(a^2+b^2)(c^2+b^2)}+\frac{(b-c)^2.(b+c)^2}{(a^2+c^2)(a^2+b^2)} [/tex](*)
[tex]\frac{2ab+2ac}{b^2+c^2}+\frac{2bc+2ba}{a^2+c^2}+\frac{2cb+2ca}{a^2+b^2}-6=\frac{(a-b)^2(ab-c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}+\frac{(a-c)^2(ac-b^2)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}+\frac{(b-c)^2(bc-a^2)}{(a^2+c^2)(a^2+b^2)}[/tex](**)
(*) đúng vì :
[tex]\frac{(a-b)^2.(a+b)^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}+\frac{(a-c)^2(a+c)^2}{(a^2+b^2)(c^2+b^2)}+\frac{(b-c)^2.(b+c)^2}{(a^2+c^2)(a^2+b^2)}
=\frac{(a^2-b^2)^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}+\frac{(a^2-c^2)^2}{(a^2+b^2)(c^2+b^2)}+\frac{(b^2-c^2)^2}{(a^2+c^2)(a^2+b^2)}
[/tex]
Ta có :
[tex]\frac{(a^2-b^2)^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}=\frac{((a^2+c^2)-(b^2+c^2))^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}
=\frac{(a^2+c^2)^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}+\frac{(b^2+c^2)^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}-\frac{2(a^2+c^2)(b^2+c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}
=\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2+c^2}-2
[/tex]
Làm tương tự suy ra:
[tex]\frac{(a^2-b^2)^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}+\frac{(a^2-c^2)^2}{(a^2+b^2)(c^2+b^2)}+\frac{(b^2-c^2)^2}{(a^2+c^2)(a^2+b^2)}
=\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2+c^2}-2+\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2+b^2}-2+\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2}+\frac{a^2+c^2}{a^2+b^2}-2
[/tex]
[tex]=\frac{2a^2}{b^2+c^2} +\frac{2b^2}{a^2+c^2}+\frac{2c^2}{a^2+b^2}-3[/tex]
Vậy (*) được c/m.
(**) đúng vì:
[tex]\frac{2ab+2ac}{b^2+c^2}+\frac{2bc+2ba}{a^2+c^2}+\frac{2cb+2ca}{a^2+b^2}-6
=\frac{2ab+2ac}{b^2+c^2}-2+\frac{2bc+2ba}{a^2+c^2}-2+\frac{2cb+2ca}{a^2+b^2}-2
=\frac{2ab-2b^2+2ac-2c^2}{b^2+c^2}+\frac{2bc-2c^2+2ba-2a^2}{a^2+c^2}+\frac{2cb-2b^2+2ca-2a^2}{a^2+b^2}
[/tex]
[tex]=\frac{2b(a-b)+2c(a-c)}{b^2+c^2}+\frac{2c(b-c)+2a(b-a)}{a^2+c^2}+\frac{2b(c-b)+2a(c-a)}{a^2+b^2}[/tex]
[tex]
=2(a-b)(\frac{b}{b^2+c^2}-\frac{a}{a^2+c^2})+2(a-c)(\frac{c}{b^2+c^2}-\frac{a}{a^2+b^2})+2(b-c)(\frac{a}{a^2+c^2}-\frac{b}{a^2+b^2})[/tex]
Ta có: [tex]\frac{b}{b^2+c^2}-\frac{a}{a^2+c^2}=\frac{ba^2+bc^2-ab^2-ac^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}=\frac{ba(a-b)-c^2(a-b)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}=\frac{(a-b)(ab-c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}[/tex]
Do đó :
[tex]2(a-b)(\frac{b}{b^2+c^2}-\frac{a}{a^2+c^2})+2(a-c)(\frac{c}{b^2+c^2}-\frac{a}{a^2+b^2})+2(b-c)(\frac{a}{a^2+c^2}-\frac{b}{a^2+b^2})
=\frac{(a-b)^2(ab-c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}+\frac{(a-c)^2(ac-b^2)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}+\frac{(b-c)^2(bc-a^2)}{(a^2+c^2)(a^2+b^2)[/tex]
Vậy (**) được c/m.
Từ (*) và (**) suy ra:
[tex]\frac{2a(a+b+c)}{b^2+c^2} +\frac{2b(a+b+c)}{a^2+c^2}+\frac{2c(a+b+c)}{a^2+b^2}-9 \geq 0[/tex]
<=>[tex]\frac{(a-b)^2(a^2+b^2+3ab-c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}+\frac{(a-c)^2(a^2+c^2+3ac-b^2)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}+\frac{(b-c)^2(b^2+c^2+3bc-a^2)}{(a^2+c^2)(a^2+b^2)} \geq 0[/tex]
Đặt [tex]S_a=\frac{a^2+b^2+3ab-c^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}[/tex]
[tex]S_b=\frac{a^2+c^2+3ac-b^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}[/tex]
[tex]S_c=\frac{c^2+b^2+3cb-a^2}{(a^2+c^2)(a^2+b^2)}[/tex]
Vậy cần c/m:
[tex](a-b)^2.S_a+(a-c)^2.S_b+(b-c)^2.S_c \geq 0[/tex](***)
Do vai trò a,b,c như nhau,giả sử a>=b>=c
Ta có :[tex](a-c)^2=(a-b+b-c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+2(a-b)(b-c)[/tex]
Do a>=b,b>=c suy ra (a-b)(b-c)>=0.Vậy[tex](a-c)^2 \geq (a-b)^2+(b-c)^2[/tex]
Mặt khác Do a>=b>=c nên Sa,Sb>=0.Suy ra :
[tex](a-b)^2.S_a + (a-c)^2.S_b + (b-c)^2.S_c \geq (a-b)^2.S_a + (a-b)^2.S_b+ (b-c)^2.S_b + (b-c)^2.S_c=(a-b)^2.S_a + (a-b)^2.S_b + (b-c)^2.[S_b+S_c][/tex]
Ta c/m [tex]S_b+S_c \geq 0[/tex]
Do a>=b nên [tex]S_b=\frac{a^2+c^2+3ac-b^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)} \geq \frac{a^2+c^2+3ac-b^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)} [/tex]
=>[tex]S_b+S_c \geq \frac{a^2+c^2+3ac-b^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{c^2+b^2+3cb-a^2}{(a^2+c^2)(a^2+b^2)}=\frac{2c^2+3cb+3ac}{(a^2+c^2)(a^2+b^2)} \geq 0[/tex]
Do đó [tex](a-b)^2.S_a + (a-c)^2.S_b + (b-c)^2.S_c \geq (a-b)^2.S_a + (a-b)^2.S_b + (b-c)^2.[S_b+S_c] \geq 0[/tex]
(***) được chứng minh.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
