Thi HSG:

[ailatrieuphu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Chứng minh rằng: Nếu [TEX]\sqrt{x}+\sqrt{y}1[/TEX] thì [TEX]x\sqrt{x}+y\sqrt{y} \geq \frac{1}{4}[/TEX]
2)Cho x; y; z là 3 số dương nguyên tố cùng nhau và [TEX](x-z)(y-z)=z^2[/TEX]. Chứng minh rằng:
a)[TEX](x-z)[/TEX] và [TEX](y-z)[/TEX] nguyên tố cùng nhau.
b)Tích [TEX]xyz[/TEX] là số chính phương.

 

[leminhnghia1]

1,2

1, [TEX]x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=\sqrt{x}^3+\sqrt{y}^3=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{x}\sqrt{y}+y)=x-\sqrt{x}\sqrt{y}+y=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-3\sqrt{x}\sqrt{y} \ \geq \ 1-3\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{4}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}[/TEX]

[TEX]"=" \ \Leftrightarrow \ x=y=\frac{1}{4}[/TEX]

2, GS $ ƯCLN(x-z;y-z)=d$

[TEX]\Rightarrow \ \left {{x-z \ \vdots \ d} \\ {y-z \ \vdots \ d} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ (y-z)(x-z) \ \vdots \ d^2 \ \Rightarrow \ z^2 \ \vdots \ d^2 \ \Rightarrow \ z \ \vdots \ d \ \Rightarrow \ \left {{x \ \vdots \ d} \\ {y \ \vdots \ d}[/TEX]

Mà x,y,z nguyên tố cùng nhau nên $d=1 \ => \ ƯCLN(x-z;y-z)=1$ hay $x-z; y-z$ nguyên tố cùng nhau.

 

[ailatrieuphu]

1, [TEX]x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=\sqrt{x}^3+\sqrt{y}^3=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{x}\sqrt{y}+y)=x-\sqrt{x}\sqrt{y}+y=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-3\sqrt{x}\sqrt{y} \ \geq \ 1-3\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{4}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}[/TEX]

[TEX]"=" \ \Leftrightarrow \ x=y=\frac{1}{4}[/TEX]

2, GS $ ƯCLN(x-z;y-z)=d$

[TEX]\Rightarrow \ \left {{x-z \ \vdots \ d} \\ {y-z \ \vdots \ d} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ (y-z)(x-z) \ \vdots \ d \ \Rightarrow \ z^2 \ \vdots \ d \ \Rightarrow \ z \ \vdots \ d \ \Rightarrow \ \left {{x \ \vdots \ d} \\ {y \ \vdots \ d}[/TEX]

Mà x,y,z nguyên tố cùng nhau nên $d=1 \ => \ ƯCLN(x-z;y-z)=1$ hay $x-z; y-z$ nguyên tố cùng nhau.

Làm ơn làm giúp mình vế b bài 2 luôn được không!!!!!!!!!!!

 

[hotien217]

1, [TEX]x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=\sqrt{x}^3+\sqrt{y}^3=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{x}\sqrt{y}+y)=x-\sqrt{x}\sqrt{y}+y=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-3\sqrt{x}\sqrt{y} \ \geq \ 1-3\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{4}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}[/TEX]

[TEX]"=" \ \Leftrightarrow \ x=y=\frac{1}{4}[/TEX]

2, GS $ ƯCLN(x-z;y-z)=d$

[TEX]\Rightarrow \ \left {{x-z \ \vdots \ d} \\ {y-z \ \vdots \ d} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ (y-z)(x-z) \ \vdots \ d \ \Rightarrow \ z^2 \ \vdots \ d \ \Rightarrow \ z \ \vdots \ d \ \Rightarrow \ \left {{x \ \vdots \ d} \\ {y \ \vdots \ d}[/TEX]

Mà x,y,z nguyên tố cùng nhau nên $d=1 \ => \ ƯCLN(x-z;y-z)=1$ hay $x-z; y-z$ nguyên tố cùng nhau.

Bạn giải thích vì sao có thể từ $\ z^2 \ \vdots \ d$ mà có thể suy ra $ z \ \vdots \ d $ được ko. Mình láy một ví dụ minh hoạ : Lúc này mình không xác định được $d$ có giá trị là bao nhiêu nên mình thử chọn $ d= 4$ và $z=2$
Ta có: $z^2 \vdots d $ nhưng $ z \not \vdots d $