Thêm 1 câu BĐT cosi

[thuyluvkem]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

dạo này kiếm được mấy câu BĐT khó thật. Các bạn giúp mình với:
1. x,y,z>0 xyz=1 CMR:
[TEX]\frac{\sqrt{1+ x^3 + y^3}}{xy} +\frac{\sqrt{1+ y^3 + z^3}}{yz}+ \frac{\sqrt{1+ z^3 + x^3}}{zx} \geq 3\sqrt{3}[/TEX]

 

[tinhbanonlinevp447]

dạo này kiếm được mấy câu BĐT khó thật. Các bạn giúp mình với:
1. x,y,z>0 xyz=1 CMR:
[TEX]\frac{\sqrt{1+ x^3 + y^3}}{xy} +\frac{\sqrt{1+ y^3 + z^3}}{yz}+ \frac{\sqrt{1+ z^3 + x^3}}{zx} \geq 3\sqrt{3}[/TEX]

Ta có:
[TEX]x^3+y^3 \geq xy(x+y)[/TEX]
Áp dụng ta có:
[TEX]\frac{\sqrt{1+ x^3 + y^3}}{xy} +\frac{\sqrt{1+ y^3 + z^3}}{yz}+ \frac{\sqrt{1+ z^3 + x^3}}{zx} \geq \frac{\sqrt{1+ xy(x+y}}{xy} +\frac{\sqrt{1+ z(y+z)}}{yz}+ \frac{\sqrt{1+ zx(z+x)}}{zx}=\sqrt[]{\frac{x+y+z}{xy}}+\sqrt[]{\frac{x+y+z}{yz}}+\sqrt[]{\frac{x+y+z}{xz}}[/TEX]
[TEX]=\sqrt[]{x+y+z}(\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z})\geq\sqrt[]{3\sqrt[3]{xyz}}.3\sqrt[6]{xyz}=3\sqrt[]{3}[/TEX]

 

[thuyluvkem]

Cám ơn bạn nhiều lắm mình còn câu này nữa :
2. a,b,c>0. CMR:
[TEX]\frac{a^2}{b^3} + \frac{b^2}{c^3} + \frac{c^2}{a^3} \geq\frac{9}{a + b +c}[/TEX]

 

[ngojsaoleloj8814974]

Cám ơn bạn nhiều lắm mình còn câu này nữa :
2. a,b,c>0. CMR:
[TEX]\frac{a^2}{b^3} + \frac{b^2}{c^3} + \frac{c^2}{a^3} \geq\frac{9}{a + b +c}[/TEX]

Ta có:
[TEX]\frac{a^2}{b^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a} \geq \frac{3}{b}[/TEX]
[TEX]\frac{b^2}{c^3}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b} \geq \frac{3}{c}[/TEX]
[TEX]\frac{c^2}{a^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a} \geq \frac{3}{a}[/TEX]
Cộng lại :
[TEX]\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3} \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]
Ta có:
[TEX](\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c) \geq 9[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3} \geq \frac{9}{a+b+c}[/TEX]

 

[tell_me_goobye]

tiếp nè

a,b,c,d >0 a+b+c+d = 4

CM [TEX]\sum \frac{1}{ab} \geq \sum a^2[/TEX]

 

[duynhan1]

tiếp nè

a,b,c,d >0 a+b+c+d = 4

CM [TEX]\sum \frac{1}{ab} \geq \sum a^2 (1)[/TEX]

[TEX]a+b+c+d = 4 \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 16 - \sum 2ab[/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow 16 - \sum \frac{1}{ab} \leq 16 - \sum a^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum 2ab + \sum \frac{1}{ab} \geq 16[/TEX]

 

[tell_me_goobye]

hay quá bài giải hay

bài nứa nhá

cho a,b là các số thực (a khác -b )
CM [TEX]a^2 +b^2 + (\frac{1+ab}{a+b})^2 \geq 2[/TEX]

 

[vinhbogia]

hay quá bài giải hay

bài nứa nhá

cho a,b là các số thực (a khác -b )
CM [TEX]a^2 +b^2 + (\frac{1+ab}{a+b})^2 \geq 2[/TEX]

a2+b2=(a+b)2 -2ab

bdt<=> (a+b)2 -2(1+ab) +(1+ab)2/(a+b)2 >= 0
<=> ( a+b - (1+ab)/(a+b) )2 >= 0 đây là bđt hiển nhiên đúng=> điều phải chứng minh

 

[0915549009]

hay quá bài giải hay

bài nứa nhá

cho a,b là các số thực (a khác -b )
CM [TEX]a^2 +b^2 + (\frac{1+ab}{a+b})^2 \geq 2[/TEX]

Ta có:
[TEX]a^2 +b^2 + (\frac{1+ab}{a+b})^2 \geq 2 [/TEX] (*)
[TEX]\Leftrightarrow a^2 +b^2 + 2ab + (\frac{1+ab}{a+b})^2 \geq 2 + 2ab[/TEX] hay [TEX](a + b)^2 + (\frac{1+ab}{a+b})^2 \geq 2 + 2ab[/TEX]
Mặt khác: [TEX](a + b)^2 + (\frac{1+ab}{a+b})^2 \geq 2(a + b)\frac{1+ab}{a+b} = 2 + 2ab[/TEX]
Nên BĐT (*) đúng
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow [TEX]a + b =\frac{1 + ab}{a+b} \Leftrightarrow (a + b)^2 = 1 + ab [/TEX]
@-)@-)@-)@-) Đến đây GPT làm sao ta?

 

[songeunji]

Ta có:
[TEX]a^2 +b^2 + (\frac{1+ab}{a+b})^2 \geq 2 [/TEX] (*)
[TEX]\Leftrightarrow a^2 +b^2 + 2ab + (\frac{1+ab}{a+b})^2 \geq 2 + 2ab[/TEX] hay [TEX](a + b)^2 + (\frac{1+ab}{a+b})^2 \geq 2 + 2ab[/TEX]
Mặt khác: [TEX](a + b)^2 + (\frac{1+ab}{a+b})^2 \geq 2(a + b)\frac{1+ab}{a+b} = 2 + 2ab[/TEX]
Nên BĐT (*) đúng
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow [TEX]a + b =\frac{1 + ab}{a+b} \Leftrightarrow (a + b)^2 = 1 + ab [/TEX]
@-)@-)@-)@-) Đến đây GPT làm sao ta?

với những bài BDT thì ta chỉ cần chỉ ra dấu bằng là đủ
dấu = xảy ra khi 1 số =1 và một số =0
P/S: với a,b là các số thực thì

[TEX](a + b)^2 + (\frac{1+ab}{a+b})^2 \geq\|\ 2(a + b)\frac{1+ab}{a+b} \|\ \geq2(a + b)\frac{1+ab}{a+b} = 2 + 2ab[/TEX]

 

[vivietnam]

dạo này kiếm được mấy câu BĐT khó thật. Các bạn giúp mình với:
1. x,y,z>0 xyz=1 CMR:
[TEX]\frac{\sqrt{1+ x^3 + y^3}}{xy} +\frac{\sqrt{1+ y^3 + z^3}}{yz}+ \frac{\sqrt{1+ z^3 + x^3}}{zx} \geq 3\sqrt{3}[/TEX]

áp dụng bất đẳng thức co si cho 3 số
ta có [TEX]sqrt{1+x^3+y^3}[/TEX] \geq[TEX]sqrt{3.xy}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{\sqrt{1+ x^3 + y^3}}{xy}[/TEX] \geq[TEX]\frac{\sqrt{3.xy}}{xy}[/TEX]
=[TEX]\frac{\sqrt{3}}{sqrt{xy}}[/TEX]
tương tự với các số còn lại
sau đó cộng lại các bất đẳng thức ta có
VT\geq[TEX]\frac{\sqrt{3}}{sqrt{xy}}[/TEX]+[TEX]\frac{\sqrt{3}}{sqrt{zy}}[/TEX]+[TEX]\frac{\sqrt{3}}{sqrt{xz}}[/TEX] \geq3[TEX]sqrt3[/TEX]

 

[tell_me_goobye]

tiếp

cho a,b,c >0
CM
[TEX]\sum \frac{a^3}{b+c} \geq (\sum \frac{a}{b+c})(\frac{a+b+c}{3})^3[/TEX]

 

[dandoh221]

tiếp

cho a,b,c >0
CM
[TEX]\sum \frac{a^3}{b+c} \geq (\sum \frac{a}{b+c})(\frac{a+b+c}{3})^3[/TEX]

BDT này không đồng bậc .

 

[boconganh_9393]

giúp em câu này
a/(b+c+1)+b/(a+c+1)+c/(a+b+1)+(1-a)(1-b)(1-c) =<1 với a,b,c thuộc
[0,1]