thêm 1 bài tích phân nữa nè!

[aihato]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex]\int\limits_{-1}^{1}\frac{dx}{1 + x + \sqrt{1 + x^2}}[/tex]

 

[hung11493]

bài này lần trước mình hỏi thì có đứa bảo nhân liên hợp ... có đứa nói nhân thì tích phân bị gián đoạn => ko dc

 

[nerversaynever]

bài này lần trước mình hỏi thì có đứa bảo nhân liên hợp ... có đứa nói nhân thì tích phân bị gián đoạn => ko dc

Một hàm số khả tích khi một trong số những điều kiện cần và đủ là nó liên tục trên đoạn [a;b] ,bài này hàm số đó t/m vậy ko có cái gọi là gián đoạn, nhân liên hợp bt

 

[conan_edogawa93]

[tex]\int\limits_{-1}^{1}\frac{dx}{1 + x + \sqrt{1 + x^2}}[/tex]

[TEX]I=\int_{-1}^1\frac{x+1-\sqrt{1+x^2}}{2x}dx=\int_{-1}^1\frac{x+1}{2x}-\int_{-1}^{1}\frac{\sqrt{1+x^2}}{2x}\\=\frac{1}{2}\int_{-1}^1(1+\frac{1}{x})+\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x^2}}{2x}[/TEX]
Tính :
[TEX]I'=\int_{-1}^{1}\frac{\sqrt{1+x^2}}{2x}dx [/tex] là hàm lẻ trên [tex][-1;1]=> I'=0[/TEX]
[TEX]=>I=\frac{1}{2}(ln|x|+x)|^{1}_{-1}=1[/TEX]
___________________
Cách này bổ sung nếu sợ mấy vấn đề hàm liên tục )
[tex]x+\sqrt{1+x^2}=u=>u-x=\sqrt{1+x^2}=>x=\frac{u^2-1}{2u}\\=>dx=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{u^2})du\\Tu-ma-doi-can:\\I=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}[\frac{du}{1+u}+ \frac{du}{(1+u)u^2}]\\=\frac{1}{2}\int_a^b[\frac{du}{1+u}+(\frac{1}{u^2}-\frac{1}{u}+\frac{1}{1+u})du]=1[/tex]

 

[nerversaynever]

[TEX]I=\int_{-1}^1\frac{x+1-\sqrt{1+x^2}}{2x}dx=\int_{-1}^1\frac{x+1}{2x}-\int_{-1}^{1}\frac{\sqrt{1+x^2}}{2x}\\=\frac{1}{2}\int_{-1}^1(1+\frac{1}{x})+\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x^2}}{2x}[/TEX]
Tính :
[TEX]I'=\int_{-1}^{1}\frac{\sqrt{1+x^2}}{2x}dx [/TEX] là hàm lẻ trên [tex][-1;1]=> I'=0[/tex]
[TEX]=>I=\frac{1}{2}(ln|x|+x)|^{1}_{-1}=1[/TEX]
___________________
Cách này bổ sung nếu sợ mấy vấn đề hàm liên tục )
[tex]x+\sqrt{1+x^2}=u=>u-x=\sqrt{1+x^2}=>x=\frac{u^2-1}{2u}\\=>dx=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{u^2})du\\Tu-ma-doi-can:\\I=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}[\frac{du}{1+u}+ \frac{du}{(1+u)u^2}]\\=\frac{1}{2}\int_a^b[\frac{du}{1+u}+(\frac{1}{u^2}-\frac{1}{u}+\frac{1}{1+u})du]=1[/tex]

Cách 2 anh ko ý kiến chứ cách 1 em làm thế thì nó đúng là dính đến vấn đề liên tục và thành tích phân suy rộng rồi

nói chung ngắn gọn nhất là làm thế này

[TEX]\begin{array}{l} \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{x + 1 + \sqrt {1 + x^2 } }}} = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{x + 1 + \sqrt {1 + x^2 } }} + } \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{ - x + 1 + \sqrt {1 + x^2 } }}} = \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {1 + \sqrt {1 + x^2 } } \right)dx}}{{\left( {1 + \sqrt {1 + x^2 } } \right)^2 - x^2 }}} \\= \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {1 + \sqrt {1 + x^2 } } \right)dx}}{{2\left( {1 + \sqrt {1 + x^2 } } \right)}}} = 1 \\ \end{array}[/TEX]

p/s cái topic nó ngủ yên cả thế kỷ mà em cũng lôi nó dậy )

 

[conan_edogawa93]

Thích thách đố nhau mấy bài này để thẻ hiện trình độ à )
Hãy đi vào đúng trọng tâm là sử dụng kiến thức và bài tập ở mức độ phù hợp với ôn thi ĐH thôi )

Nói nhiều. Mức Độ Đại Học đấy còn gì nữa. Chưa biết chừng năm sau nó còn cho khó xơi hơn , ngồi đấy mà kêu nhiều ) (lại còn bảo thách đố cái gì, người ta nhờ ta đi làm phúc hóa ra là cái nợ à ))

Cách 2 anh ko ý kiến chứ cách 1 em làm thế thì nó đúng là dính đến vấn đề liên tục và thành tích phân suy rộng rồi

nói chung ngắn gọn nhất là làm thế này

[TEX]\begin{array}{l} \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{x + 1 + \sqrt {1 + x^2 } }}} = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{x + 1 + \sqrt {1 + x^2 } }} + } \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{ - x + 1 + \sqrt {1 + x^2 } }}} = \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {1 + \sqrt {1 + x^2 } } \right)dx}}{{\left( {1 + \sqrt {1 + x^2 } } \right)^2 - x^2 }}} \\= \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {1 + \sqrt {1 + x^2 } } \right)dx}}{{2\left( {1 + \sqrt {1 + x^2 } } \right)}}} = 1 \\ \end{array}[/TEX]

p/s cái topic nó ngủ yên cả thế kỷ mà em cũng lôi nó dậy )

Hay . học tập =D> ) qua vào muộn, chả quan tâm ngày giờ nên cũng chả ngờ nó lâu ngày như thế ) thi xong , rảnh quá , vào spam cho bài nó nhiều )

kimxakiem2507

[TEX]*[/TEX] Bài này là tích phân xác định chứ không có suy rộng gì cả.rõ ràng nó luôn liện tục khi [TEX]x\in{[-1,1][/TEX]

[TEX] t=-x\Rightarrow{I=\int\limits_{-1}^{1}\frac{dt}{1 -t + \sqrt{1 + t^2}}=\int\limits_{-1}^{1}\frac{dx}{1 -x + \sqrt{1 + x^2}}[/TEX]

[TEX]2I=\int\limits_{-1}^{1}[\frac{1}{1 +x + \sqrt{1 + x^2}}+\frac{1}{1 -x + \sqrt{1 + x^2}}]dx=\int\limits_{-1}^{1}dx=2[/TEX][TEX]\Rightarrow{I=1[/TEX]