Toán 12 Thể tích khối chóp

[haathptkdhy@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người chỉ mình bài này với ạ. Mình cảm ơn
Cho khối chóp S.ABC có các cạnh bên SA = a, SB = b, SC = c không đổi và các góc [tex]\widehat{BSC}=\alpha ,\widehat{CSA}=\beta , \widehat{ASB}=\gamma (0<\alpha ,\beta ,\gamma < 180,\alpha +\beta +\gamma < 360)[/tex] và mỗi góc nhỏ hơn tổng hai góc còn lại.
a) Tính thể tích [tex]V_{S.ABC}[/tex] của hình chóp theo [tex]a,b,c,\alpha ,\beta ,\gamma[/tex]
b) Chứng minh rằng khi các góc [tex]\alpha ,\beta, \gamma[/tex] thay đổi, ta luôn có [tex]V_{S.ABC}< \frac{{abc}\sqrt{3}}{6}[/tex]

 

[Alice_www]

Mọi người chỉ mình bài này với ạ. Mình cảm ơn
Cho khối chóp S.ABC có các cạnh bên SA = a, SB = b, SC = c không đổi và các góc [tex]\widehat{BSC}=\alpha ,\widehat{CSA}=\beta , \widehat{ASB}=\gamma (0<\alpha ,\beta ,\gamma < 180,\alpha +\beta +\gamma < 360)[/tex] và mỗi góc nhỏ hơn tổng hai góc còn lại.
a) Tính thể tích [tex]V_{S.ABC}[/tex] của hình chóp theo [tex]a,b,c,\alpha ,\beta ,\gamma[/tex]
b) Chứng minh rằng khi các góc [tex]\alpha ,\beta, \gamma[/tex] thay đổi, ta luôn có [tex]V_{S.ABC}< \frac{{abc}\sqrt{3}}{6}[/tex]

Ta chứng minh công thức: $V= \dfrac{abc}{6} \sqrt{1+2cos\alpha.cos\beta.cos\gamma-cos\alpha^2-cos\beta^2-cos\gamma^2}$
Ta có: $S_{SBC}=\dfrac{1}{2} bc.sin\alpha$, $AH \bot (SBC)\Rightarrow h=AH,V=\dfrac{1}{6}bchsin\alpha$
Đặt: $\overrightarrow{SA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{SC}=\vec{c}$
S,H,B,C đồng phẳng ta luôn có: $\overrightarrow{SH}=x\overrightarrow{SB}+y\overrightarrow{SC}=x\vec{b}+y\vec{c}\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{SH}-\overrightarrow{SA}=x\vec{b}+y\vec{c}-\vec{a}$
$\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{SB}=0\\\overrightarrow{AH}\overrightarrow{SC}=0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}(x\vec{b}+y\vec{c}-\vec{a})\vec{b}=0\\(x\vec{b}+y\vec{c}-\vec{a})\vec{c}=0\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}xb^2+ybc cos\alpha-abcos\gamma=0\\xbccos\alpha+yc^2-accos\beta=0\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=\dfrac{a(cos\gamma-cos\alpha.cos\beta)}{bsin\alpha^2}\\y=\dfrac{a(cos\beta-cos\alpha cos\gamma)}{csin\alpha^2}\end{matrix}\right.$
Khi đó: $h^2=(x\vec{b}+y\vec{c}-\vec{a})^2=a^2+x^2b^2+y^2c^2+2xybccos\alpha-2yaccos\beta-2xabcos\gamma$
$\Rightarrow h^2sin\alpha^2=a^2sin\alpha^2-abxsin\alpha^2cos\gamma-acysin\alpha^2cos\beta=a^2sin\alpha^2-a^2cos\gamma(cos\gamma-cos\alpha cos\beta)-a^2cos\beta(cos\beta-cos\alpha.cos\gamma)$
$=a^2(1+2cos\alpha.cos\beta.cos\gamma-cos\alpha^2-cos\beta^2-cos\gamma^2)$
Ta được điều phải chứng minh.
Có gì khúc mắc e hỏi lại c nhé