Thách thức, làm thử tí chơi

[bigbang1108]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho [tex] 0 \leq a,b,c \leq 1[/tex]

chứng minh:

[tex] \frac{a^3}{(1+a)^3} +\frac{b^3}{(1+b)^3}+\frac{c^3}{(1+c)^3}[/tex][tex]\geq[/tex][tex]abc(\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3})[/tex]

các bạn cố gắng tự làm nhé đừng hỏi ai. Thách thức mà. Bài cũng ko khó lắm

 

[mimosa_769]

0<=a,b,c<=1
==> 0<= abc <=1
==> có điều phải cm
hok bjk đúng hay sai
làm bừa

 

[bigbang1108]

sai lè rồi em ơi :-j nhìn là biết mà. Nếu như thế thì anh hỏi làm j

 

[mimosa_769]

hic
bảo hok bjk đúng hay sai ròi mà
nản
nhưng why sai nhỉ

 

[bigbang1108]

:-ss ko ai làm dùm sao :-ss buồn thế

 

[volomi]

Công nhận bài này hay post cách giải lên đi bạn.
Chắc bigbang học giỏi lắm nhỉ

 

[bigbang1108]

tui học bth` thôi. cách này vớ được do ăn may thôi.Nghĩ mất mấy ngày.

trường hợp bằng 0 hay bằng 1 có thể bỏ qua, vì xét dễ.
ta xét 0<a,b,c<1

đặt x=[tex]\frac{a}{1+a}[/tex] y=[tex]\frac{b}{1+b}[/tex] z=[tex]\frac{c}{1+c}[/tex]
suy ra [tex]1-x=\frac{1}{1+a}[/tex] ,1-y=[tex]\frac{1}{1+b}[/tex], 1-z=[tex]\frac{1}{1+c}[/tex]
do a<1 nên 0<x<[tex]\frac{1}{2}[/tex]

BĐT [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]x^3+y^3+z^3 \geq \frac{xyz}{(1-x)(1-y)(1-z)}[/tex][tex]((1-x)^3+(1-y)^3+(1-z)^3)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{xyz} \geq \frac{(1-x)^3+(1-y)^3+(1-z)^3-3(1-x)(1-y)(1-z)}{(1-x)(1-y)(1-z)}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\frac{x+y+z}{xyz}((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) \geq \frac{1-x+1-y+1-z}{(1-x)(1-y)(1-z)}((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)[/tex]


[tex]\Leftrightarrow[/tex][tex](\frac{x+y+z}{xyz} - \frac{1-x+1-y+1-z}{(1-x)(1-y)(1-z)})((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)\geq 0[/tex]


ta cm[tex]\frac{x+y+z}{xyz} \geq \frac{1-x+1-y+1-z}{(1-x)(1-y)(1-z)}[/tex]

có o<x<[tex]\frac{1}{2}[/tex]<1-x<1
o<y<[tex]\frac{1}{2}[/tex]<1-y<1
o<z<[tex]\frac{1}{2}[/tex]<1-z<1

nên yz<(1-y)(1-z) nên [tex]\frac{1}{yz} \geq \frac{1}{(1-y)(1-z)}[/tex]
tương tự [tex]\frac{1}{zx} \geq \frac{1}{(1-z)(1-x)}[/tex]
[tex]\frac{1}{xy} \geq \frac{1}{(1-x)(1-y)}[/tex]

suy ra [tex]\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy} \geq \frac{1}{(1-y)(1-z)}+\frac{1}{(1-z)(1-x)}+\frac{1}{(1-x)(1-y)}[/tex]

suy ra [tex]\frac{x+y+z}{xyz} \geq \frac{1-x+1-y+1-z}{(1-x)(1-y)(1-z)}[/tex]

suy ra dpcm

"=" [tex]\Leftrightarrow[/tex] x=y=z[tex]\Leftrightarrow[/tex] a=b=c

 

[anh892007]

Làm như thế này là đi thi là bị trừ điểm đấy,ko cần phải xét a,b,c=1 mà chỉ xét TH a,b,c=0 thui,vì nếu làm như thế này thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

 

[bigbang1108]

xem lại đi. bạn sai rùi đấy. cách giải này cho dấu bằng với mọi a,b,c thuộc [0,1]. chứ ko phải chỉ xảy ra khi =1 thôi đâu.xem kĩ đi rồi phán nhé đúng là có thể ko xét với trường hợp =1 vì a=b=c=1 thì x=y=z=[tex]\frac{1}{2}[/tex] thì [tex]\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{1-x+1-y+1-z}{(1-x)(1-y)(1-z)}[/tex] , các trường hợp khác thì lớn hơn hẳn. vì hiệu 2 cái trên còn nhân với [tex](x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2[/tex] cơ mà. chỉ cần cái này[tex](x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0[/tex] là đủ rồi. [/tex]