Thách đố!!

[kid57_1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Một số tự nhiên được gọi là có tính chất T nếu tồn tại hai số TN p và q thoả mãn

0 < p < q < n và tổng S = p + ( p +1 ) + ( p +2 ) + ... + q chia hết cho n

a, Cmr: n= (18^5)^2004 có tính chất T.
b, Hỏi số n= (16^5)^2004 có tính chất T không ? &gt;-&gt;-&gt;-&gt;-&gt;-&gt;-@-)@-)@-):-SS:-SS:-SS

 

[trungkstn@gmail.com]

Mấy bài thách đố thì rất có hứng làm
Một các tổng quát $ S = p + ( p +1 ) + ( p +2 ) + ... + q = \dfrac{(q-p+1)(p+q)}{2}$
n luôn viết được dưới dạng sau $ n = 2^kA$ với A là số lẻ. Có hai khả năng
* TH1: $A > 1$
* TH2: $A = 1$
a. Với $n = (18^5)^{2004} = (2^5)^{2004}(9^5)^{2004} = 2^k.A$ với $A =(9^5)^{2004}$ và $k =5.2004$ nê $A = 9^{k}$
Ta chỉ ra luôn luôn tìm được hai số p,q thoả mãn tính chất T. Thật vậy
Chọn $q = 2^k + \dfrac{A-1}{2}$ và $p = A-q$ Ta chỉ ra cách chọn này thoả mãn tính chất T. Thực vậy:
* Chỉ ra $q <n$
Ta có: $q = 2^k + \dfrac{A-1}{2} < n = 2^kA$ \Leftrightarrow $\dfrac{A-1}{2} < 2^k(A-1)$ \Leftrightarrow $(A-1)(2^k-\dfrac{1}{2}) > 0 $ (Hiển nhiên)
* Chỉ ra $0 < p < q$ Tính được $p = \dfrac{A+1}{2}-2^k$
$\dfrac{A+1}{2}-2^k >0$ \Leftrightarrow $A+1 > 2^{k+1}$ \Leftrightarrow $9^k+1>2^{k+1}$ Ta biết rằng với $k>1$ thì $9^k > 4^k = 2^k.2^k > 2.2^k = 2^{k+1}$ nên $9^k+1>2^{k+1}$ hiển nhiên đúng.
Xét $q-p = 2^{k+1}-1 > 0$
Vậy với trường hợp $n = (18^5)^{2004} $ ta luôn chỉ ra được tồn tại cặp số p,q thoả mãn tính chất T.

 

[trungkstn@gmail.com]

b. Trường hợp $n= (16^5)^2004 = ((2^4)^5)^{2004} = 2^k$ với $k =4.5.2004$
Để ý rằng $S = \dfrac{(q-p+1)(p+q)}{2}$
Nếu $S \vdots n = 2^k$ thì $(q-p+1)(p+q) \vdots 2^{k+1}$
Để ý rằng $(q-p+1)+(p+q)=2q+1$ là số lẻ nên một trong hai số $(q-p+1)$ và $(p+q)$ là số lẻ, số còn lại là một số chẵn.
$q-p+1 \le n-p < n$ nên nếu tính chất T được thoả mãn thì $(q-p+1)$ là số lẻ, tất nhiên $(p+q)$ là số chẵn vì nếu ngược lại thì $q-p+1 = 2^t.B < 2^k$ (B lẻ, $t<k$) mà $(q-p+1)(p+q) \vdots 2^{k+1}$ nên $(p+q)$ cũng là một số chẵn, điều này trái với nhận xét ở trên.
Khi $(q-p+1)$ lẻ và $(p+q)$ chẵn \Rightarrow $p+q = 2^{k+1}.B$ (với B lẻ và $B \ge 1$) mà $p,q < n = 2^k$ nên $p+q < 2^{k+1}$ vậy không thể xảy ra $p+q = 2^{k+1}.B$
Chứng tỏ rằng không chọn được cặp số p,q thoả mãn tính chất.
Hay số $n = 2^k$ không thoả mãn tính chất T.