Thách đố đây

[hoangson2598]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh bdt :với mọi a,b,c duong
[TEX]\sqrt[2]{(a^2.b+b^2.c+c^2.a).(b^2.a+c^2.b+a^2.c)}[/TEX][TEX]\geq[/TEX] abc+[TEX]\sqrt[3]{a.b.c.(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)}[/TEX]

 

[pe_lun_hp]

Chết rồi ấn nhầm nữa (
Xin lỗi
Xin lỗi (


Đây là bài làm của quangltm

Chứng minh bdt :với mọi a,b,c duong
[TEX]\sqrt[2]{(a^2.b+b^2.c+c^2.a).(b^2.a+c^2.b+a^2.c)}[/TEX][TEX]\geq[/TEX] abc+[TEX]\sqrt[3]{a.b.c.(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)}[/TEX]

Chuẩn hóa $abc = 1$ do bất đẳng thức là thuần nhất.
Khi ấy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$\sqrt{\sum a^3 + \sum \frac 1 {a^3} + 3 } \ge 1+ \sqrt[3]{\sum a^3 + \sum \frac 1 {a^3} + 2} \tag 1$$

Đặt $$\sqrt[3]{\sum a^3 + \sum \frac 1 {a^3} + 2} = w \\ \implies\ (1) \iff (w^3+1)^{\frac 12} \ge 1 + w \iff w^3 \ge w^2 + 2w \iff w^2 - w - 2 \ge 0 \iff (w+1)(w-2) \ge 0$$

(bất đẳng thức luôn đúng vì $w \overset{A \ge G}{\ge} \sqrt[3]{2+2+2 +2} = 2$​

Kết luận: bất đẳng thức được chứng minh, đẳng thức xảy ra khi, chỉ khi $x = y = z$

Bài này không đến mức thách đố đâu bạn nhỉ