thắc mắc bất đẳng thức

[napoleong10]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

khi a> 0 chứng minh rằng
$\frac{a}{a^2+1}$ + $\frac{7(a^2+1)}{2a}$ $\frac{15}{2}$
xét A = $\frac{a}{a^2+1 }$ + $\frac{14(a^2+1)}{4a}$ a>0
A = ($(\frac{a}{a^2+1}$ + $\frac{a^2+1}{4a}$) + $\frac{13(a^2+1)}{4a}$

áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
$\frac{a}{a^2+1}$ + $\frac{a^2+1}{4a}$ ≥ 2 $\sqrt{\dfrac{a}{a^2+1}}$.$\sqrt{\dfrac{a^2+1}{4a}}$
ta lại có a²+1 ≥ 2a
=> $\frac{13(a^2+1)}{4a}$ ≥ $\frac{26a}{4a}$ = $\frac{13}{2}$
vậy A ≥ 2. $\frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$
=> A ≥ $\frac{15}{2}$
ai giải thích hộ với suy luận từ đâu lại có a²+1 ≥ 2a

 

[khaiproqn81]

Ta có $(a-1)^2$ \geq $0$ \forall $a$

$\leftrightarrow a^2-2a+1$ \geq $0$

$\leftrightarrow a^2+1$ \geq $2a$

 

[thinhrost1]

$a^2+1 \ge 2.\sqrt[]{a^2.1}=2a$ do áp dụng cachy với $a^2$ và 1

Cách khác (sử dụng cauchy):

$\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{7(a^2+1)}{2a}\ge a-\dfrac{a^3}{a^2+1}+\dfrac{14a}{2a}\ge \dfrac{2a-a^2}{2}+\dfrac{14}{2} \ge \dfrac{1}{2}+\dfrac{14}{2}=\dfrac{15}{2}$(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=1$

 

[ronaldover7]

Làm cách này thử!

$\frac{a}{a^2+1}$ + $\frac{7(a^2+1)}{2a}$
\Rightarrow $\frac{a}{a^2+1}$ + $\frac{14(a^2+1)}{4a}$
\Rightarrow $\frac{a}{a^2+1}$ + $\frac{a^2+1}{4a}$ + $\frac{13(a^2+1)}{4a}$
Ta có $\frac{a}{a^2+1}$ + $\frac{a^2+1}{4a}$ \geq 1(cauchy)
$\frac{13(a^2+1)}{4a}$ =$\frac{13}{2}$.$\frac{a^2+1}{2a}$ \geq $\frac{13}{2}$.1
\Rightarrow $\frac{a}{a^2+1}$ + $\frac{7(a^2+1)}{2a}$ \geq 1+$\frac{13}{2}$=$\frac{15}{2}$