[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Mở đầu topic mình sẽ giới thiệu về phương pháp tính giới hạn khá phổ biến đó là định lí kẹp.
1.1. Một số bài toán giới hạn rất phức tạp nhưng có thể tính được dễ dàng qua định lí sau.
[imath]\text{Định lí kẹp}[/imath]
Nếu 3 hàm số [imath]f,g,h[/imath] thỏa mãn:
[imath]f(x) \leq g(x)\leq h(x)[/imath] trong 1 khoảng chứa [imath]a[/imath] ( có thể ngoại trừ tại [imath]a[/imath])
và [imath]\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\ell[/imath]
thì [imath]\displaystyle \lim_{x \to a}g(x)=\ell[/imath].
VÍ DỤ:
Chứng minh rằng [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0}x^2.\sin \dfrac{1}{x} =0[/imath]
Ta có: [imath]-1\leq \sin \dfrac{1}{x} \leq 1[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thuộc [imath](-1,1) \setminus \{0\}[/imath] (đẳng thức này đúng với mọi [imath]x[/imath] khác [imath]0[/imath] nên mình chọn khoảng bất kì chứa [imath]0[/imath] và ở đây [imath]x\ne 0[/imath] nên mình hiệu [imath]0[/imath])
Vì [imath]x^2[/imath] luôn dương với mọi [imath]x \in (-1,1) \setminus \{0\}[/imath] nên
[math]-x^2 \leq x^2\sin \dfrac{1}{x} \leq x^2[/math]Dễ dàng có được: [imath]\displaystyle \lim_{x\to 0}x^2=\lim_{x\to 0}(-x^2)=0[/imath]
Theo định lí kẹp ta có: [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0}x^2\sin \dfrac{1}{x} =0[/imath].
BÀI TẬP:
1.1. Chứng minh rằng: [imath]\displaystyle \lim_{x\to 0}x^2\cos \dfrac{1}{x}=0[/imath]
1.2 Chứng minh rằng [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0}x^{2n}\sin \dfrac{1}{x^2}=0[/imath] với [imath]n \in \mathbb{N}^*[/imath]
1.3 Cho hàm [imath]f[/imath] xác định như sau:
[math]f(x)=\begin{cases} x^2, x \in \mathbb{Q} \\ 0, x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}[/math]Chứng minh rằng [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=0[/imath]
1.4 Nếu [imath]\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=0[/imath] thì ta gọi [imath]f[/imath] là 1 vô cùng bé khi [imath]x\to a[/imath] viết tắt là VCB
Nếu hàm [imath]f[/imath] thỏa mãn:
[imath]0<f(x)<x^2[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thuộc [imath](-1,1) \setminus \{0\}[/imath]
hãy chứng minh [imath]f[/imath] là một VCB (vô cùng bé) khi [imath]x \to 0[/imath]
Trong phần sau mình thảo luận về cách chứng minh định lí kẹp và giới thiệu một cách tiếp cận mới cho giới hạn hàm số.
1.1. Một số bài toán giới hạn rất phức tạp nhưng có thể tính được dễ dàng qua định lí sau.
[imath]\text{Định lí kẹp}[/imath]
Nếu 3 hàm số [imath]f,g,h[/imath] thỏa mãn:
[imath]f(x) \leq g(x)\leq h(x)[/imath] trong 1 khoảng chứa [imath]a[/imath] ( có thể ngoại trừ tại [imath]a[/imath])
và [imath]\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\ell[/imath]
thì [imath]\displaystyle \lim_{x \to a}g(x)=\ell[/imath].
VÍ DỤ:
Chứng minh rằng [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0}x^2.\sin \dfrac{1}{x} =0[/imath]
Ta có: [imath]-1\leq \sin \dfrac{1}{x} \leq 1[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thuộc [imath](-1,1) \setminus \{0\}[/imath] (đẳng thức này đúng với mọi [imath]x[/imath] khác [imath]0[/imath] nên mình chọn khoảng bất kì chứa [imath]0[/imath] và ở đây [imath]x\ne 0[/imath] nên mình hiệu [imath]0[/imath])
Vì [imath]x^2[/imath] luôn dương với mọi [imath]x \in (-1,1) \setminus \{0\}[/imath] nên
[math]-x^2 \leq x^2\sin \dfrac{1}{x} \leq x^2[/math]Dễ dàng có được: [imath]\displaystyle \lim_{x\to 0}x^2=\lim_{x\to 0}(-x^2)=0[/imath]
Theo định lí kẹp ta có: [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0}x^2\sin \dfrac{1}{x} =0[/imath].
BÀI TẬP:
1.1. Chứng minh rằng: [imath]\displaystyle \lim_{x\to 0}x^2\cos \dfrac{1}{x}=0[/imath]
1.2 Chứng minh rằng [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0}x^{2n}\sin \dfrac{1}{x^2}=0[/imath] với [imath]n \in \mathbb{N}^*[/imath]
1.3 Cho hàm [imath]f[/imath] xác định như sau:
[math]f(x)=\begin{cases} x^2, x \in \mathbb{Q} \\ 0, x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}[/math]Chứng minh rằng [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=0[/imath]
1.4 Nếu [imath]\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=0[/imath] thì ta gọi [imath]f[/imath] là 1 vô cùng bé khi [imath]x\to a[/imath] viết tắt là VCB
Nếu hàm [imath]f[/imath] thỏa mãn:
[imath]0<f(x)<x^2[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thuộc [imath](-1,1) \setminus \{0\}[/imath]
hãy chứng minh [imath]f[/imath] là một VCB (vô cùng bé) khi [imath]x \to 0[/imath]
Trong phần sau mình thảo luận về cách chứng minh định lí kẹp và giới thiệu một cách tiếp cận mới cho giới hạn hàm số.
Last edited:
