Toán 11 $\text{Topic về}$ $\displaystyle \lim$

thegooobs

Học sinh chăm học
Thành viên
16 Tháng ba 2022
291
188
51
30
Vĩnh Xuân, Trà Ôn, Vĩnh Long
Vĩnh Long
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mở đầu topic mình sẽ giới thiệu về phương pháp tính giới hạn khá phổ biến đó là định lí kẹp.
1.1. Một số bài toán giới hạn rất phức tạp nhưng có thể tính được dễ dàng qua định lí sau.
[imath]\text{Định lí kẹp}[/imath]
Nếu 3 hàm số [imath]f,g,h[/imath] thỏa mãn:
[imath]f(x) \leq g(x)\leq h(x)[/imath] trong 1 khoảng chứa [imath]a[/imath] ( có thể ngoại trừ tại [imath]a[/imath])
và [imath]\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\ell[/imath]
thì [imath]\displaystyle \lim_{x \to a}g(x)=\ell[/imath].
VÍ DỤ:
Chứng minh rằng [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0}x^2.\sin \dfrac{1}{x} =0[/imath]
Ta có: [imath]-1\leq \sin \dfrac{1}{x} \leq 1[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thuộc [imath](-1,1) \setminus \{0\}[/imath] (đẳng thức này đúng với mọi [imath]x[/imath] khác [imath]0[/imath] nên mình chọn khoảng bất kì chứa [imath]0[/imath] và ở đây [imath]x\ne 0[/imath] nên mình hiệu [imath]0[/imath])
Vì [imath]x^2[/imath] luôn dương với mọi [imath]x \in (-1,1) \setminus \{0\}[/imath] nên
[math]-x^2 \leq x^2\sin \dfrac{1}{x} \leq x^2[/math]Dễ dàng có được: [imath]\displaystyle \lim_{x\to 0}x^2=\lim_{x\to 0}(-x^2)=0[/imath]
Theo định lí kẹp ta có: [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0}x^2\sin \dfrac{1}{x} =0[/imath].

BÀI TẬP:
1.1. Chứng minh rằng: [imath]\displaystyle \lim_{x\to 0}x^2\cos \dfrac{1}{x}=0[/imath]
1.2 Chứng minh rằng [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0}x^{2n}\sin \dfrac{1}{x^2}=0[/imath] với [imath]n \in \mathbb{N}^*[/imath]
1.3 Cho hàm [imath]f[/imath] xác định như sau:
[math]f(x)=\begin{cases} x^2, x \in \mathbb{Q} \\ 0, x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}[/math]Chứng minh rằng [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=0[/imath]
1.4 Nếu [imath]\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=0[/imath] thì ta gọi [imath]f[/imath] là 1 vô cùng bé khi [imath]x\to a[/imath] viết tắt là VCB
Nếu hàm [imath]f[/imath] thỏa mãn:
[imath]0<f(x)<x^2[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thuộc [imath](-1,1) \setminus \{0\}[/imath]
hãy chứng minh [imath]f[/imath] là một VCB (vô cùng bé) khi [imath]x \to 0[/imath]

Trong phần sau mình thảo luận về cách chứng minh định lí kẹp và giới thiệu một cách tiếp cận mới cho giới hạn hàm số.
 
Last edited:

thegooobs

Học sinh chăm học
Thành viên
16 Tháng ba 2022
291
188
51
30
Vĩnh Xuân, Trà Ôn, Vĩnh Long
Vĩnh Long
Một số bài toán giới hạn rất phức tạp nhưng có thể chuyển về giới hạn hàm số qua định lí sau:
ĐỊNH LÍ KẸP:
Nếu 3 hàm số [imath]f,g,h[/imath] thỏa mãn:
[imath]f(x) \leq g(x)\leq h(x)[/imath] trong 1 khoảng chứa [imath]a[/imath] ( có thể ngoại trừ tại [imath]a[/imath])
và [imath]\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L[/imath]
thì
[imath]\displaystyle \lim_{x \to a}g(x)=L[/imath].
VÍ DỤ:
Chứng minh rằng [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0}x^2.\sin \dfrac{1}{x} =0[/imath]
Ta có: [imath]-1\leq \sin \dfrac{1}{x} \leq 1[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thuộc [imath](-1,1) \setminus \{0\}[/imath] (đẳng thức này đúng với mọi [imath]x[/imath] khác [imath]0[/imath] nên mình chọn khoảng bất kì chứa [imath]0[/imath] và ở đây [imath]x\ne 0[/imath] nên mình hiệu [imath]0[/imath])
Vì [imath]x^2[/imath] luôn dương với mọi [imath]x \in (-1,1) \setminus \{0\}[/imath] nên
[math]-x^2 \leq x^2\sin \dfrac{1}{x} \leq x^2[/math]Dễ dàng có được: [imath]\displaystyle \lim_{x\to 0}x^2=\lim_{x\to 0}(-x^2)=0[/imath]
Theo định lí kẹp ta có: [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0}x^2\sin \dfrac{1}{x} =0[/imath].

BÀI TẬP:
1.1. Chứng minh rằng: [imath]\displaystyle \lim_{x\to 0}x^2\cos \dfrac{1}{x}=0[/imath]
1.2 Chứng minh rằng [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0}x^{2n}\sin \dfrac{1}{x^2}=0[/imath] với [imath]n \in \mathbb{N}^*[/imath]
1.3 Cho hàm [imath]f[/imath] xác định như sau:
[math]f(x)=\begin{cases} x^2, x \in \mathbb{Q} \\ 0, x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}[/math]Chứng minh rằng [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=0[/imath]
1.4 Cho hàm [imath]g[/imath] thỏa mãn:
[imath]x<g(x) \leq x^2[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thuộc [imath]\mathbb{R}[/imath]
Chứng minh rằng: [imath]\displaystyle \lim_{x\to 0}g(x)=0[/imath]
1.5 Nếu [imath]\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=0[/imath] thì ta gọi [imath]f[/imath] là 1 vô cùng bé khi [imath]x\to a[/imath] viết tắt là VCB
Nếu hàm [imath]f[/imath] thỏa mãn:
[imath]0<f(x)<x^2[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thuộc [imath](-1,1) \setminus \{0\}[/imath]
hãy chứng minh [imath]f[/imath] là một VCB (vô cùng bé) khi [imath]x \to 0[/imath]

Trong phần sau mình thảo luận về cách chứng minh định lí kẹp và giới thiệu một cách tiếp cận mới cho giới hạn hàm số.
thegooobsCác bạn có lời giải cứ đăng ở đây nhé !!!
 

thegooobs

Học sinh chăm học
Thành viên
16 Tháng ba 2022
291
188
51
30
Vĩnh Xuân, Trà Ôn, Vĩnh Long
Vĩnh Long
Giải thử vài bài nhé:
1.1.
Ta có:
[math]-1 \leq \cos \dfrac{1}{x} \leq 1, \forall x \in \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right) \setminus \{0\}[/math](các bạn cứ tìm cách cho nó kẹp trong 1 khoảng chứa [imath]0[/imath] và hiệu [imath]0[/imath] là được không cần phải tại [imath]0[/imath])
Trên [imath]\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right) \setminus \{0\}[/imath] thì [imath]x^2>0[/imath] nên nhân tất cả các vế bất đẳng thức trên cho [imath]x^2[/imath] ta có:
[math]-x^2 \leq x^2\cos \dfrac{1}{x} \leq x^2, \forall x \in \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right) \setminus \{0\}[/math]Dễ dàng có được: [imath]\displaystyle \lim_{x \to 0}x^2=\lim_{x \to 0}(-x^2)=0[/imath]
Áp dụng định lí kẹp ta có:
[math]\displaystyle \lim_{x \to 0}x^2 \cos \dfrac{1}{x} =0[/math]
 
Top Bottom