$ \text{Cho a,b,c>0 và $a+b+c=1$ Tìm Giá trị lớn nhất của bt A }$

[minhhieupy2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$ \text{Cho a,b,c>0 và $a+b+c=1$, tìm GTLN của $ A=a+ \sqrt[5]{b}+\sqrt[9]{c}$ }$

 

[huynhbachkhoa23]

Giải: $b+\sqrt[4]{\dfrac{1}{3125}}+\sqrt[4]{\dfrac{1}{3125}}+\sqrt[4]{\dfrac{1}{3125}}+\sqrt[4]{\dfrac{1}{3125}} \ge \sqrt[5]{b}$

$c+\sqrt[8]{\dfrac{1}{387420489}}+...+\sqrt[8]{\dfrac{1}{387420489}} \ge \sqrt[9]{c}$ ($8$ phần tử $\sqrt[8]{\dfrac{1}{387420489}}$)

Suy ra $A \le 1+4\sqrt[4]{\dfrac{1}{3125}}+8\sqrt[8]{\dfrac{1}{38420489}}$

......

 

[minhhieupy2000]

Giải: $b+\sqrt[4]{\dfrac{1}{3125}}+\sqrt[4]{\dfrac{1}{3125}}+\sqrt[4]{\dfrac{1}{3125}}+\sqrt[4]{\dfrac{1}{3125}} \ge \sqrt[5]{b}$

$c+\sqrt[8]{\dfrac{1}{387420489}}+...+\sqrt[8]{\dfrac{1}{387420489}} \ge \sqrt[9]{c}$ ($8$ phần tử $\sqrt[8]{\dfrac{1}{387420489}}$)

Suy ra $A \le 1+4\sqrt[4]{\dfrac{1}{3125}}+8\sqrt[8]{\dfrac{1}{38420489}}$

......

Sao bác làm cực khổ thế nhỉ ,
$\sqrt[5]{b}=\sqrt[5]{5b.\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}.\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}.\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}.\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}}\le\dfrac{5b+\dfrac{4}{\sqrt[4]{5}}}{5}=b+\dfrac{4}{5\sqrt[4]{5}}$
Tương tự: $\sqrt[9]{c}\le c+\dfrac{8}{9\sqrt[8]{9}}$
\Rightarrow$a+\sqrt[5]{b}+\sqrt[9]{c}\le a+b+c+\dfrac{8}{9\sqrt[8]{9}}+\dfrac{4}{5\sqrt[4]{5}}=1+\dfrac{8}{9\sqrt[8]{9}}+\dfrac{4}{5\sqrt[4]{5}}$

 

[huynhbachkhoa23]

Sao bác làm cực khổ thế nhỉ ,
$\sqrt[5]{b}=\sqrt[5]{5b.\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}.\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}.\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}.\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}}\le\dfrac{5b+\dfrac{4}{\sqrt[4]{5}}}{5}=b+\dfrac{4}{5\sqrt[4]{5}}$
Tương tự: $\sqrt[9]{c}\le c+\dfrac{8}{9\sqrt[8]{9}}$
\Rightarrow$a+\sqrt[5]{b}+\sqrt[9]{c}\le a+b+c+\dfrac{8}{9\sqrt[8]{9}}+\dfrac{4}{5\sqrt[4]{5}}=1+\dfrac{8}{9\sqrt[8]{9}}+\dfrac{4}{5\sqrt[4]{5}}$

Lười phân tích như bác lắm | làm cho có thôi | gặp dạng này cứ điểm rơi giả định (đúng hơn là nhân tử Lagrange) quen rồi nên không thèm quan tâm lời giải có đẹp hay không =))