Toán 9 Tất tần tật về bất đẳng thức Co-si và Cực trị THCS

[misoluto04@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho x,y,z dương TM x+y+z=1 Tìm min S=1/x + 4/y +9/z


2)Cho x,y,z dương và Thỏa mãn x^2+y62=x^2<=3 (nhỏ hơn hoặc bằng 3) Tìm Max:
P = (1/xy+1) + (1/yz+1) + (1/zx+1)

3)Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác .CM:
(a^2/b+c-a) + (b^2/c+a-b) + (c^2/a+b-c) >= a+b+c

4)Cho a,b,c dương TM abc=1 CM:
1/a^2(b+c) + 1/b^2(c+a) + 1/c^2(a=b) >= 3/2 ( lớn hơn hoặc bằng 3 phần 2)

5)Cho a,b,c lần lượt là độ dài 3 cạnh 1 tam giác cóv chu vi =2p CM:
1/p-a + 1/p-b + 1/p-c >= 2(1/a + 1/b +1/c)
(Mình ko biết nửa chu vi hay chu vi...mọi người thử giải theo cả 2 cách giúp)

 

[misoluto04@gmail.com]

• 
  @Ann Lee @Tạ Đặng Vĩnh Phúc @Đình Hải @Blue Plus @iceghost @huythong1711.hust @hocmai.kithuat @hdiemht

 

[Hoàng Vũ Nghị]

1) Cho x,y,z dương TM x+y+z=1 Tìm min S=1/x + 4/y +9/z


2)Cho x,y,z dương và Thỏa mãn x^2+y62=x^2<=3 (nhỏ hơn hoặc bằng 3) Tìm Max:
P = (1/xy+1) + (1/yz+1) + (1/zx+1)

3)Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác .CM:
(a^2/b+c-a) + (b^2/c+a-b) + (c^2/a+b-c) >= a+b+c

4)Cho a,b,c dương TM abc=1 CM:
1/a^2(b+c) + 1/b^2(c+a) + 1/c^2(a=b) >= 3/2 ( lớn hơn hoặc bằng 3 phần 2)

5)Cho a,b,c lần lượt là độ dài 3 cạnh 1 tam giác cóv chu vi =2p CM:
1/p-a + 1/p-b + 1/p-c >= 2(1/a + 1/b +1/c)
(Mình ko biết nửa chu vi hay chu vi...mọi người thử giải theo cả 2 cách giúp)

Bài 3 .
Do a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên
a-b<c
b-c<a
c-a<b
Áp dụng bđt Schwarz ta có
[tex]\sum \frac{a^{2}}{b+c-a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c[/tex]
Dấu = xảy ra khi a=b=c
Bài 2.Đề phải là tìm min
Áp dụng BĐT Schwarz ta có
[tex]\sum \frac{1}{xy+1}\geq \frac{9}{xy+yz+zx+3}[/tex]
Lại có
[tex]3\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx[/tex] (dễ dàng chứng minh
Suy ra [tex]\frac{9}{xy+yz+zx+3}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}[/tex]
Vậy min P=3/2 khi x=y=z =1
Bài 4.
[tex]\frac{1}{a^{2}(b+c)}=\frac{b^{2}c^{2}}{ab+ac}[/tex]
tương tự
[tex]\frac{1}{b^{2}(a+c)}=\frac{a^{2}c^{2}}{ab+bc}[/tex]
tương tự
[tex]\frac{1}{c^{2}(b+a)}=\frac{a^{2}b^{2}}{cb+ac}[/tex]
Áp dụng bđt Schwarz ta có
[tex]\sum \frac{b^{2}c^{2}}{ab+ac}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2}[/tex]
Áp dụng bđt Cauchy ta có
[tex]ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{abbcca}=3[/tex]
Suy ra đpcm

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Câu 1.Áp dụng bđt Schwarz ta có
[tex]\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\geq \frac{(1+2+3)^{2}}{x+y+z}=\frac{36}{x+y+z}=36[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]x=\frac{1}{6};y=\frac{1}{3},z=\frac{1}{2}[/tex]
Câu 5.Áp dụng bđt Schwarz cho 2 số ta có
[tex]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\geq \frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}[/tex]
[tex]\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geq \frac{4}{2p-c-b}=\frac{4}{a}[/tex]
[tex]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}\geq \frac{4}{2p-a-c}=\frac{4}{b}[/tex]
Cộng các vế của bđt ta có đpcm

 

[misoluto04@gmail.com]

Cảm ơn bạn @Hoàng Vũ Nghị nhiều...

 

[misoluto04@gmail.com]

Bài 3 .
Do a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên
a-b<c
b-c<a
c-a<b
Áp dụng bđt Schwarz ta có
[tex]\sum \frac{a^{2}}{b+c-a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c[/tex]
Dấu = xảy ra khi a=b=c
Bài 2.Đề phải là tìm min
Áp dụng BĐT Schwarz ta có
[tex]\sum \frac{1}{xy+1}\geq \frac{9}{xy+yz+zx+3}[/tex]
Lại có
[tex]3\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx[/tex] (dễ dàng chứng minh
Suy ra [tex]\frac{9}{xy+yz+zx+3}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}[/tex]
Vậy min P=3/2 khi x=y=z =1
Bài 4.
[tex]\frac{1}{a^{2}(b+c)}=\frac{b^{2}c^{2}}{ab+ac}[/tex]
tương tự
[tex]\frac{1}{b^{2}(a+c)}=\frac{a^{2}c^{2}}{ab+bc}[/tex]
tương tự
[tex]\frac{1}{c^{2}(b+a)}=\frac{a^{2}b^{2}}{cb+ac}[/tex]
Áp dụng bđt Schwarz ta có
[tex]\sum \frac{b^{2}c^{2}}{ab+ac}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2}[/tex]
Áp dụng bđt Cauchy ta có
[tex]ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{abbcca}=3[/tex]
Suy ra đpcm

Bạn giải thích rõ hơn cho mình chỗ bất đẳng thức Cô -si có "E " đứng trước cái và xin công thức...

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Bạn giải thích rõ hơn cho mình chỗ bất đẳng thức Cô -si có "E " đứng trước cái và xin công thức...

là cái nào mình chưa hiểu rõ lắm

 

[misoluto04@gmail.com]

là cái nào mình chưa hiểu rõ lắm

Bài 2,3,4 nah : Aps dụng bđt cô si ta có : ... ?

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Bài 2,3,4 nah : Aps dụng bđt cô si ta có : ... ?

Những cái có cái E trước là Bđt Schwarz
Công thức .
Cho 2 bộ số thực dương a1,a2,...,an và b1,b2,...,bn
Ta có
[tex]\frac{a1^{2}}{b1}+\frac{a2^{2}}{b2}+...+\frac{an^{2}}{bn}\geq \frac{(a1+a2+...+an)^{2}}{b1+b2+...+bn}[/tex]
Dấu x xảy ra khi [tex]\frac{a1}{b1}=\frac{a2}{b2}=...=\frac{an}{bn}[/tex]
Chứng minh
[tex](a1+a2+...+an)^{2}=(\frac{a1}{\sqrt{b1}}.\sqrt{b1}+...+\frac{an}{\sqrt{bn}}.\sqrt{bn})\leq (\frac{a1^{2}}{b1}+...+\frac{an^{2}}{bn})(b1+b2+...+bn)[/tex]
Suy ra đpcm
Cách CM bđt trên dựa vào bđt Bunhia như sau
Cho 2 bộ số thực a1,a2,...,an và b1,b2,...,bn ta luôn có
[tex](a1b1+a2b2+...+anbn)^{2}\leq (a1^{2}+a2^{2}+...+an^{2})(b1^{2}+b2^{2}+...+bn^{2})[/tex] (bđt áp dụng k cần CM)
Dấu = xảy ra khi [tex]\frac{a1}{b1}=\frac{a2}{b2}=...=\frac{an}{bn}[/tex]
Còn cái dấu giống chữ E là dấu dùng để rút gọn các tổng theo quy luật
VD cho n số a1,a2,a3,... thì tổng a1a2+a2a3+a3a4 =[tex]\sum a1a2[/tex]
Có gì mong các bạn bổ sung ..