Tam giác

[Ngô Tấn Đạt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại A . I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác ABC. CMR :
CI^2 = (BC-AB)^2 + AC^2 tất cả chia 2
Hey; mình cần gấp. Mong mọi người giúp đỡ.

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Lần lượt kẻ $IM,IN,IK$ vuông góc với $AB,AC,BC$ tại $M,N,K$
Theo tính chất thì $I$ chính là tâm đường tròn nội tiếp nên:$IM=IN=IK$.
Kết hợp với $\widehat{BAC}=90^0$ thì $IM=IN=IK=AM=AN$
Dễ dàng chứng minh :$BK=BM,AM=AN,CK=CN$
Do đó:
$\dfrac{AB+AC-BC}{2}=IK
\\\Rightarrow -(BC-AB)+AC=2IK
\\\Rightarrow (BC-AB)^2+AC^2-2AC(BC-AB)=4IK^2
\\\Rightarrow \frac{(BC-AB)^2+AC^2}{2}=2IK^2+AC(BC-AB)$
Do đó điều phải chứng minh:
$2IK^2+AC(BC-AB)=CI^2
\\\Rightarrow 2IK^2+AC(BC-BM-AM)=CK^2+IK^2
\\\Rightarrow IK^2+AC(CK-IK)=CK^2
\\\Rightarrow AC.CK-CK^2=AC.IK-IK^2
\\\Rightarrow CK(AC-CK)=IK(AC-IK)
\\\Rightarrow CK.(AC-CN)=AN(AC-AN)
\\\Rightarrow CN.AN=AN.CN$
Điều này hiển nhiên đúng.