Nhận thấy cả 2 đều tương đương với [TEX]\Delta ABC[/TEX] đều nên ta sẽ chứng minh [TEX]\Delta ABC[/TEX] đều với mỗi điều kiện trên.
+ [TEX]IA+IB+IC=6r[/TEX]
Ta thấy: [TEX]S_{ABC}=\frac{1}{2}BC.h_a=\frac{1}{2}r(AB+BC+CA) \Rightarrow r(AB+BC+CA)=BC.h_a \geq BC(AI+r) \Rightarrow BC.AI \geq r(AB+AC) \Rightarrow AI \geq r.\frac{AB+AC}{BC}[/TEX]
Tương tự rồi cộng vế theo vế, áp dụng BĐT Cauchy ta được [TEX]IA+IB+IC \geq 6r[/TEX].
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]AB=BC=CA[/TEX] nên [TEX]\Delta ABC[/TEX] đều
+ [TEX]\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}. \sin \frac{C}{2}=\frac{1}{8}[/TEX]
Từ trên ta có [TEX]IA \geq r.\frac{AB+AC}{BC}[/TEX]
Tương tự rồi nhân vế theo vế rồi áp dụng BĐT Cauchy ta có [TEX]IA.IB.IC \geq 8r^3 \Rightarrow \sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}. \sin \frac{C}{2} \leq \frac{1}{8}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra tại [TEX]AB=BC=CA [/TEX] hay [TEX]\Delta[/TEX] ABC đều.
Vậy ta có đpcm.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
