Cho tam giác đều ABC. Lấy M trên đoạn AB, N trên đoạn AC thỏa mãn: [tex]\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1[/tex]. Chứng minh rằng:
BC + MN = BM + CN
Vẽ MI vuông với AC.
Đặt AB = a, AM = b, AN = c.
Ta có: Tam giác AMI vuông tại I có góc  = 60 độ
[tex]\Rightarrow AI=\frac{AM}{2}=\frac{b}{2}[/tex]
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác AMI vuông tại I, ta có:
[tex]MI=\sqrt{AM^2-AI^2}=\sqrt{b^2-\frac{b^2}{4}}=\sqrt{\frac{3b^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}b}{2}[/tex]
Lại có: [tex]IN=AN-AI=c-\frac{b}{2}[/tex]
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác NMI vuông tại I, ta có:
[tex]MN=\sqrt{MI^2+NI^2}=\sqrt{\frac{3b^2}{4}+(c-\frac{b}{2})^2}=\sqrt{b^2+c^2-bc}[/tex]
Ta có: [tex]\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1\Rightarrow \frac{b}{a-b}+\frac{c}{a-c}=1\Rightarrow \frac{b}{a-b}=1-\frac{c}{a-c}=\frac{a-2c}{a-c}\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{a-2c}{(a-c)+(a-2c)}=\frac{a-2c}{2a-3c}\Rightarrow b(2a-3c)=a(a-2c)\Rightarrow 2ab-3bc=a^2-2ac\Rightarrow a^2-2ac-2ab+3bc=0[/tex]
[tex]\Rightarrow b^2-bc+c^2=b^2+c^2-bc+a^2-2ab-2ac+3bc=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc=(a-b-c)^2\Rightarrow MN=\sqrt{b^2-bc+c^2}=\sqrt{(a-b-c)^2}=b+c-a\Rightarrow MN+BC=AM+AN[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
