Vì [tex]\widehat{AIC}=90^o+\frac{\widehat{B}}{2}> 90^o\Rightarrow \widehat{AIC}=\widehat{AIO}+\widehat{CIO}=135^o\Rightarrow \widehat{B}=90^o[/tex]
Từ đó O là trung điểm của AC.
Vẽ đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc AB,BC,CA tại D,E,F. Đặt [tex]a=BC,b=CA,c=AB[/tex]
Ta có: [tex]BE=BD=IE=IF=\frac{BA+BC-AC}{2}=\frac{a+c-b}{2}; AF=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{b+c-a}{2}[/tex]
Khi đó theo hệ thức trong tam giác vuông AIO ta có: [tex]IF^2=AF.FO[/tex]
[tex]\Rightarrow (\frac{a+c-b}{2})^2=\frac{b+c-a}{2}.(\frac{b}{2}-\frac{b+c-a}{2}) \Rightarrow (a+c-b)^2=(b+c-a)(a-c)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca=-a^2-c^2+2ac+ba-bc\Leftrightarrow 2a^2+2c^2+b^2-3ab-bc=0\Leftrightarrow 2b^2+b^2-3ab-bc=0\Rightarrow b(3b-3a-c)=0\Rightarrow b=a+\frac{c}{3}[/tex]
Ta có: [tex]a^2+c^2=b^2=(a+\frac{c}{3})^2\Rightarrow a^2+c^2=a^2+\frac{2ac}{3}+\frac{c^2}{9}\Rightarrow \frac{8c^2}{9}=\frac{2ac}{3}\Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{3}{4}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
