Cho các số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 ,9. Từ các số tự nhiên trên ta lập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và số tự nhiên được thành lập phải chia hết cho 3. Ta lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên như vậy ?
Hang personKhông biết em có học chương trình nào nhưng mình sẽ trình bày theo 2 phương pháp nhé.
Cách 1:Số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số phải chia hết cho 3.
Ta chia các trường hợp sau:
TH1: Số có hai chữ số là 1,2,a
Khi đó: [imath]1+2+a=3k, k\in \mathbb Z \leftrightarrow a=3k-3[/imath]
Ta có: [imath]1\leq a \leq 9 , a \in \mathbb Z \leftrightarrow 1\leq 3k-3 \leq 9 \leftrightarrow \frac{4}{3}\leq k \leq 4 [/imath]
[imath]\rightarrow k=2;3;4[/imath] => tương ứng sẽ có [imath]a=3;6;9[/imath]. Khi đó ta có các bộ số thỏa mãn: là
(1,2,3), (1,2,6), (1,2,9). Mỗi bộ có hoán vị là 3! nên có tất cả 3.3!=3.1.2.3=18 số cho trường hợp 1.
Tương tự
TH2: 1,3,a có [imath]1+3+a=3k, k \in \mathbb Z[/imath] => [imath]k=2,3,4[/imath] => a=2,5,8ta loại 2 đi vì nếu lấy a=2 sẽ ra bộ (1,3,2) trùng với 1 bộ (1,2,3) ở TH1. nên ta có 2 bộ (1,3,5) và (1,3,8) => có 2.3!=12 số cho trường hợp 2 và làm tương tự để ta ra kết quả........
(em có thể đếm các số của một bộ (1,3,5) VD: 135, 513,.... nhưng hơi lâu)
Cách 2: Cho A={1,2,3,...9}
Xét 1 bộ (a,b,c) mà a,b,c là các số nguyên lấy từ tập A
Ta thấy tổng S=a+b+c lớn nhất khi (a,b,c)=(7,8,9) => max S=7+8+9=24
Tương tự thấy tổng nhỏ nhất S=a+b+c=1+2+3=6 => min=6
=> Tổng ba số nguyên bất kì S lấy từ A luôn thỏa: [imath]6\leq S \leq 24[/imath]
Mà một số chia hết cho 3 thì tổng ba chữ số chia hết cho 3. Do vậy tổng 3 chữ số lấy từ tập A mà chia tạo thành số chi hết cho 3 sẽ thỏa.
a+b+c=6;9;12;15;18;21;24
Xét từng trường hợp: a+b+c=6 ta chỉ thấy bộ (a,b,c)=(1,2,3) thỏa => Hoán vị chứng để tìm các số thỏa mãn nên có 3! số.
Tương tự: [imath]a+b+c=9 => (a,b,c)=(1,2,6);(1,3,5);(2,4,3) =>[/imath] có 3.3! số.
[imath]a+b+c=12 => (a,b,c)=(1,2,9);(1,3,8);(1;4;7);(1,5,6);(2,3,7);(2,4,6);(3,4,5) =>[/imath] có 7.3! số
[imath]a+b+c=18 => (a,b,c)=(1,8,9);(2,7,9);(3,6,9);(3,7,8);(4,5,9);(4,6,8);(5,6,7) =>[/imath] có 7.3! số
[imath]a+b+c=21 => (a,b,c)=(4,8,9);(5,7,9);(6,7,8) =>[/imath] có 3.3! số.
[imath]a+b+c=24 => (a,b,c)=(4,8,9);(7;8;9) =>[/imath] có 2.3! số
Vậy tổng cộng có: [imath]3!+7.3!+7.3!+3.3!+2.3!=138[/imath] số.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
