T/c ba đường trung tuyến của tam giác

[angleofdarkness]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và trung tuyến AM. Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AM. Qua M kẻ MD, ME vuông góc với AB, AC (D, E thuộc d). C/m:
a) BD // CE.
b) DE = BD + CE.

Bài 2: Cho BM là trung tuyền của tam giác ABC. Trên Bm lấy G, K sao cho BG = 2/3 BM và G là trung điểm BK. Từ G kẻ đường thẳng // Bc căt AC tại O và cắt KC tại N. C/m O là trọng tâm tam giác KBC.

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến là AD, BE, CF. Từ F kẻ đường thẳng // với SD cắt ED tại I.
a) C/m IC // BE.
b) C/m nếu AD vuông góc BE thì tam giác DIF là tam giác vuông.
c) So sánh các cạnh của tam giác ICF với ba đường trung tuyếncuar tam giác ABC.

 

[hiensau99]

Bài 1:

a, Gọi: $AC \cap ME= {F}; \ AB \cap MD= {G}$
+ $\triangle ABC$ vuông cân ở A $\Longrightarrow \widehat{C_1}=\widehat{B_1}=45^o$.
+ $\triangle ABC$ vuông cân ở A có AM là đường trung tuyến đồng thời là tia phân giác $\widehat{BAC} \Longrightarrow \widehat{A_3}=\widehat{A_1}=45^o$
+ Ta có: $\widehat{MAE}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}$. Hay: $90^o=45^o+\widehat{A_2} \Longrightarrow \widehat{A_2}=45^o$.
+ $\triangle AFE$ vuông ở F có $ \widehat{A_2}=45^o \Longrightarrow \triangle AFE$ vuông cân ở F $\Longrightarrow \widehat{E_1}=45^o; AF=FE \ (1) $
+ $\triangle FAM$ vuông ở F có $ \widehat{A_1}=45^o \Longrightarrow \triangle FAM$ vuông cân ở F $\Longrightarrow AF=FM \ (2) $
+ $\triangle FMC$ vuông ở F có $ \widehat{C_1}=45^o \Longrightarrow \triangle FMC$ vuông cân ở F $\Longrightarrow CF=FM \ (3) $
+ Từ (1);(2) và (3) $\Longrightarrow \triangle FEC$ vuông cân ở F $\Longrightarrow \widehat{E_2}=45^o$
+ Như vậy: $\widehat{AEC}=\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=45^o. 2= 90^o \Longrightarrow EC \bot d$ (*)
+ Ta có: $\widehat{MAD}=\widehat{A_3}+\widehat{A_4}$. Hay: $90^o=45^o+\widehat{A_4} \Longrightarrow \widehat{A_4}=45^o$.
+ $\triangle AGD$ vuông ở G có $ \widehat{A_4}=45^o \Longrightarrow \triangle AGD$ vuông cân ở F $\Longrightarrow \widehat{D_2}=45^o; AG=GD \ (4) $
+ $\triangle GAM$ vuông ở G có $ \widehat{A_3}=45^o \Longrightarrow \triangle GAM$ vuông cân ở G $\Longrightarrow AG=GM \ (5) $
+ $\triangle GBM$ vuông ở G có $ \widehat{B_1}=45^o \Longrightarrow \triangle GBM$ vuông cân ở G $\Longrightarrow GM=GB \ (6) $
+ Từ (4);(5) và (6) $\Longrightarrow \triangle DGB$ vuông cân ở G $\Longrightarrow \widehat{D_1}=45^o$
+ Như vậy: $\widehat{ADB}=\widehat{D_1}+\widehat{D_2}=45^o. 2= 90^o \Longrightarrow DB \bot d$ (*) (*)
+ Từ (*) và (*) (*) $\Longrightarrow DB //EC$ (đpcm)

b, Theo phần a ta có:
+ $ \triangle EAC$ vuông ở E có: $\widehat{A_2}=45^o \Longrightarrow \triangle EAC$ vuông cân ở E $\Longrightarrow EA=EC$
+ $ \triangle ADB$ vuông ở D có: $\widehat{A_4}=45^o \Longrightarrow \triangle ADB$ vuông cân ở D $\Longrightarrow DA=DB$
+ Ta có: $DE=DA+AE=BD+EC$ (đpcm)

Bài 2: hình như bạn nhầm đề, O là trọng tâm của GKC thì đúng hơn

+ Theo bài ra ta có BM là đường trung tuyến của $\triangle ABC$. Mà $BG= \frac{2}{3}BM \Longrightarrow G$ là trọng tâm của $\triangle ABC$
$ \Longrightarrow MG= \frac{1}{2}BG= \frac{1}{2}GK \Longrightarrow M$ là trung điểm của cạnh KG
$ \Longrightarrow $ CM là trung tuyến của $\triangle CKG$

+ Xét $\triangle AMG$ và $\triangle CMK$ ta có:
$AM=MC \ (gt)$
$\widehat{AMG}=\widehat{CMK}$ (đối đỉnh)
$MG=MK$ (M là trung điểm của cạnh KG)
$\Longrightarrow \triangle AMG= \triangle CMK$ (cgc)
$\Longrightarrow \widehat{G_1}=\widehat{K_1}$ (2 góc tương ứng) (1)
$\Longrightarrow AG//CK$ (cặp góc so le trong bằng nhau)
$\Longrightarrow \widehat{F_1}=\widehat{N_1}$ (so le trong) (2)

+ $\triangle FMG$ có: $\widehat{F_1}+\widehat{G_1}+\widehat{M_1}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác) (3)

+ $\triangle KMN$ có: $\widehat{K_1}+\widehat{N_1}+\widehat{M_2}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác) (4)

+ Từ (1);(2);(3);(4) ta có: $\widehat{M_1}=\widehat{M_2}$

+ Xét $\triangle FMG$ và $\triangle NMK$ ta có:
$ \widehat{G_1}=\widehat{K_1}$ (CM trên)
$\widehat{M_1}=\widehat{M_2}$ (CM trên)
$MG=MK$ (M là trung điểm của cạnh KG)
$\Longrightarrow \triangle FMG= \triangle NMK$ (gcg)
$\Longrightarrow GF=KN $ (2 cạnh tương ứng)
Mà $GF = \frac{AG}{2} \Longrightarrow KN=\frac{AG}{2}$. Mà $AG=KC. \ (Vì \triangle AMG= \triangle CMK)$
$\Longrightarrow KN=\frac{CK}{2}$
$\Longrightarrow$ N là trung điểm cạnh CK
$\Longrightarrow$ GN là trung tuyến của $\triangle CKG$

+ ta có GN và CM là trung tuyến của $\triangle CKG$ cắt nhau ở O
$\Longrightarrow$ O là trọng tâm của $\triangle CKG$