Suy luận logic.

[thotrangminhduc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Trong mặt phẳng cho 2012 đường thẳng, trong đó hai đường thẳng bất kì đều cắt nhau
và qua mỗi giao điểm có không ít hơn ba đường thẳng đi qua.CM 2012 đường thẳng này đồng quy.
2) Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy các điểm E, F thuộc cạnh AB;G, H thuộc cạnh BC; I,J thuộc cạnh CD; K,M thuộc cạnh DA sao cho hình bát giác IFGHEJKM cos các góc bằng nhau. CMR nếu độ dài các cạnh của hình bát giác IFGHEJKM là các số hữu tỉ thì EF=IJ.
3)Trong mặt phẳng cho 2012 điểm, sao cho 3 điểm bất kì trong chúng là 3 đỉnh của một tam giác có S không lớn hơn 1. CMR tất cả những điểm đã cho nằm trong một tam giác có D không lớn hơn 4.

 

[quangltm]

Bài 3

Tổng quát hóa cho n điểm ($n \ge 3$)
Số tam giác hữu hạn bằng tổ hợp lặp chập 3 của n phần tử. Không mất tính tổng quát, giả sử $\Delta ABC$ có diện tích lớn nhất, dựng các đường thẳng qua A, B, C song song với 3 cạnh tam giác (như hình vẽ)

Ta đi chứng minh không có điểm nào nằm ngoải $\triangle DEF$, thật vậy
Giả sử $X$ ngoài $\triangle DEF$, $X$ thuộc nửa mặt phẳng bờ $FD$ không chứa $C$ => $S_{AXC} > S_{ABC}$ => mâu thuẫn, tương tự cho các trường hợp còn lại
Vây n điểm đó chỉ nằm trong/trên cạnh$\triangle DEF$, mặt khác, $S_{DFE} = 4S_{ABC} \le 4$ (Q.E.D)

 

[quangltm]

1)Tổng quát hóa cho $n$ điểm với $n \in [3;$\infty$)$
#: $n = 3$ \Rightarrow đúng
#: Giả sử đúng với $n = k$ thì cũng đúng với $n = k+1$, gọi các đường thẳng là $d_i\ (d \in 1,2,3,...,n)$
, giao điểm của $d_1, d_2, ..., d_k$ là $Q$, giả sử đường thẳng $d_{k+1}$ không đi qua $Q$ khi đó sẽ tạo ra $k$ giao điểm (phân biệt) của đường thẳng này với các đường thẳng còn lại
Mà "qua mỗi giao điểm có không ít hơn ba đường thẳng đi qua" => phải có thêm $k$ đường thẳng nữa => mâu thuẫn, vậy $Q \in d_{k+1}$. Kết hợp với giả thiết quy nạp \Rightarrow $\ Q.E.D$

 

[quangltm]

Bài 1 mình làm chưa chặt chẽ, mà bài này bạn kiếm ở đâu thế ? Nó gần gần giống bài của Sylvester