Sử dụng tính cha chẵn lẻ trong giải toán số học

[harrypham]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong nhiều bài toán về số nguyên tố hoặc số hữu tỉ, đôi khi chỉ cần xét tính chẵn lẻ của giá trị một biểu thức coi như một điều kiện cần, có thể dẫn đến điều kiện để giải bài toán đó.
Dưới đây là một số tính chất và bài toán
Ta gọi các số nguyên chia hết cho 2 là số chẵn, còn số nguyên không chia hết cho 2 là số lẻ
Tính chất:
1.Tổng hoặc hiệu một số chẵn và một số lẻ là một số lẻ
2.Tổng hoặc hiệu hai số chẵn hoặc hai số lẻ là một số chẵn
3.Tích các số lẻ là một số lẻ
4.Tích các số, trong đó có ít nhất một số chẵn là một số chẵn
5.Trong 2 số nguyên liên tiếp thì có một số lẻ và một số chẵn
Nh“n chung kiến thức lý thuyết đơn giản, nhưng vận dụng nó là cả một vấn đề. Hãy xét một số dạng toán sau
Tính chẵn lẻ trong các bài toán về chia hết
VD1:Cho bảy số nguyên [tex]a_1,a_2,...a_7[/tex], viết các số nguyên đó theo một thứ tự khác được [tex]b_1.b_2,...b_7[/tex]. Chứng m“nh rằng tích số [tex](a_1-b_1)(a_2-b_2)...(a_7-b_7)[/tex] chia hết cho 2
Giải:
Đặt [tex]c_1=a_1-b_1[/tex] với i=1,2,3,4,5,6,7. Ta có:
[tex]c_1+c_2+...+c_7=(a_1-b_1)+(a_2-b_2)...+(a_7-b_7)=(a_1+a_2+...+a_7)-(b_1+b_2+...+b_7)=0[/tex]
Theo các tính chất 1,2 thì trong các số [tex]c_1,c_2,...c_7[/tex] pahỉ có ít nhất một số chẵn, lại theo tính chất 4 thì tích [tex]c_1,c_2,...,c_7[/tex] phải là một số chẵn =>đpcm
VD2: Số [tex]3^n+2003[/tex] trong đó n là số nguyên dương có chia hết cho 184 không?
Giải
Ta thấy 184=8.23 và [tex]3^{2m}-1[/tex] :vdots [tex]3^2-1=8[/tex]
Xét các trường hợp
Nếu n=2m chẵn, thì [tex]3^{2m}+2003=3^{2m}-1+250.8+4[/tex] không chia hết cho 8
Nếu n=2m+1 lẻ thì ta có [tex]3^{2m+1}+2003=3(3^{2m-1})[/tex] không chia hết cho 8
Vậy với mọi số nguyên dương n thì số [tex]3^n+2003[/tex] đều không chia hết cho 184


Đây là một số bài tập luyện tập ở dạng này
Cho bộ số nguyên pytago x,y,z. Chứng minh rằng x.y.z :vdots 60
Tính chẵn lẻ với các phương trình nghiệm nguyên
VD3:
Giải phương trình nghiệm nguyên dương [tex]x^2-2y^2=5[/tex]
Giải:
Từ phương trình (PT) suy ra [tex]x^2[/tex] lẻ nên [tex]x=2n+1[/tex] lẻ, thay vào PT được [tex]2n^2+2n-y^2=2(*)[/tex]=>y chẵn. Đặt y=2m thay vào (*), ta có [tex]n(n+1)-2m^2=1[/tex]. Vế trái chẵn mà về phải lẻ =>mâu thuẫn. Vậy,PT đã cho vô nghiệm

BT luyện tập
Chứng minh rằng không có các số nguyên x,y,z nào thỏa mãn điều kiện [tex]19^x+5^y+1980z=1975^{4^{30}}=1993[/tex]
Nguồn :VMF

 

[harrypham]

Tính chẵn lẻ trong các bài toán số học khác
VD4:Chứng minh rằng một phương trình bậc hai với các hệ số đều là số nguyên lẻ thì không thể có nghiệm hữu tỉ
Giải:
Giả sử PT [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] với a,b,c là các số nguyên lẻ có nghiệm hữu tỉ [tex]x=\frac{p}{q}[/tex] với [tex](p,q)=1[/tex]. Thay giá trị của x vào phương trình và biến đổi ta được [tex]ap^2+bpq+cq^2=0(*)[/tex], Từ q là ước của [tex]ap^2[/tex] mà (p,q)=1 suy ra q là số lẻ. Lập luận tương tự thì p cũng là số lẻ, lúc đó về trái của (*) là số lẻ (theo tính chất 1,2,3) mà vế phải của (*) là số chẵn, mâu thuẫn. Vậy PT bậc 2 trên không thể có nghiệm hữu tỉ
Ví dụ 5:
Tìm tất cả các số nguyên tố [tex]a,b,c[/tex] thỏa mãn [tex]a^b+b^a=c[/tex](**)
Giải:
Chú ý c>2 và lẻ thì a,b phải khác nhau tính chẵn lẻ. Vì vai trò của a.b như nhau, giả sử a lẻ, b chẵn thì b=2 nên thay vào (**), ta được [tex]a^2+2^a=c[/tex]. Nếu a=3 thì có a=3 thỏa mãn điều kiện. Nếu a khác 3 thì [tex]a^2=3n+1[/tex] với n nguyên dương, [tex]2^a=(3-1)^a=3t-1[/tex] vì a lẻ. Từ đó [tex]c=a^2+2a=3n+1+3t-1=3(n+t)[/tex] là hợp số
Vậy bài toán có nghiệm (a,b,c) bằng (3,2,7) và (2,3,7)

 

[harrypham]

Đây là một số bài toán luyện tập
1.Chứng minh rằng [tex]3^n+4[/tex] không thể là số chính phương với n là số nguyên dương bất kì.
2.Tìm các số nguyên dương m,n lớn hơn 1 sao cho [tex]2^m+3^n[/tex] là số chính phương.
3.Tìm các số nguyên dương n sao cho [tex]n^2+2002[/tex] là số chính phương.