chứng minh rằng nếu a+b+c chia hết cho 30 thì [TEX]a^5+b^5+c^5[/TEX] chia hết cho 30
Xét [TEX] A=a^{5}+b^{5}+c^{5}-a-b-c[/TEX]
=[TEX]a(a^{4}-1)+b(b^{4}-1)+c(c^{4}-1)[/TEX]
=[TEX]a(a^{2}-1)(a^{2}+1)+b(b^{2}-1)(b^{2}+1)+c(c^{2}-1)(c^{2}+1)[/TEX]
=[TEX]a(a-1)(a+1)(a^{2}-4+5)+b(b-1)(b+1)(b^{2}-4+5)+c(c-1)(c+1)(c^{2}-4+5)[/TEX]
Ta có : [TEX]a(a-1)(a+1)(a^{2}-4+5) =a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a+1)(a-1) [/TEX]
vì a-1, a ,a+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp \Rightarrow có ít nhất 1 số chia hết cho 3 à có một số chia hết cho 3 \Rightarrow 5a(a+1)(a-1) [TEX]\vdots[/TEX] 5.6 hay 5a(a+1)(a-1) [TEX]\vdots[/TEX] 30
lại có a-2; a-1;a;a+1;a+2 là 5 số tự nhiên liên tiếp \Rightarrow có một số [TEX]\vdots[/TEX] 3;1 số [TEX]\vdots[/TEX] 5; 1 số [TEX]\vdots[/TEX] 2 \Rightarrow a(a-1)(a-2)(a+1)(a+2) [TEX]\vdots[/TEX] 2.3.5 hay a(a-1)(a-2)(a+1)(a+2) [TEX]\vdots[/TEX] 30
\Rightarrow [TEX]a(a-1)(a+1)(a^{2}-4+5) \vdots 30[/TEX]
C/m hoàn toàn tương tự ta có : [TEX]b(b-1)(b+1)(b^{2}-4+5) \vdots 30 ; c(c-1)(c+1)(c^{2}-4+5) \vdots 30[/TEX] \Rightarrow [TEX]A \vdots 30 [/TEX]
mà a+b+c [TEX]\vdots[/TEX] 30 \Rightarrow [TEX]a^5+b^5+c^5 \vdots 30[/TEX] (đpcm)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn