- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
*Kiến thức cơ bản:
Cho biến cố A, biến cố đối của A, kí hiệu [tex]\overline{ A}[/tex], là biến cố hiểu nôm na là : " không phải A". Nếu [tex]\overline{ A}[/tex] là biến cố đối của A, thì số lượng phần tử của A và [tex]\overline{ A}[/tex] tạo thành 1 không gian mẫu đầy đủ. Đồng thời A và [tex]\overline{ A}[/tex] không có phần tử nào trùng nhau.
Biến cố xung khắc: biến cố B gọi là xung khắc với A, nếu đã xảy ra B thì chắc chắn A không thể xảy ra. Như vậy, 2 biến cố đối nhau chắc chắn là 2 biến cố xung khắc, trong khi 2 biến cố xung khắc chưa chắc đã đối nhau.
Ví dụ: Gieo con xúc sắc 1 lần, biến cố A: "nhận được mặt 1 chấm" và biến cố B: "nhận được mặt hai chấm" là 2 biến cố xung khắc, vì không thể nào gieo 1 lần mà ta vừa nhận được mặt 1 chấm, vừa nhận mặt 2 chấm. Tuy nhiên chúng không đối nhau, vì kết hợp chúng không tạo thành không gian mẫu.
Trong trường hợp này, biến cố đối của A, [tex]\overline{ A}[/tex] :"Không nhân được mặt 1 chấm" , nói cách khác, là " nhận được mặt 2 hoặc 3 hoặc 4 hoặc 5 hoặc 6 chấm ".
* Vận dụng biến cố đối vào bài toán đếm ( hoặc bài toán xác suất ) :
- Mục đích sử dụng : việc tính trực tiếp số lượng phần tử của biến cố A quá dài, do phải chia nhiều trường hợp. Khi đó, ta tính số lượng phần tử của [tex]\overline{ A}[/tex], và tính số lượng phần tử không gian mẫu: [tex]n_{\Omega }[/tex] , rồi lấy [tex]n_{\Omega }[/tex]- [tex]n_{\overline{ A}}[/tex] là được [TEX]n_A[/TEX].
Về xác suất, ta có: [TEX]P_A=1-P_{\overline{ A}}[/TEX]
- Dấu hiệu nhận biết: thường bài toán có câu hỏi : "có ít nhất một..." là bài toán sẽ được chú ý áp dụng cách này.
1. Một lớp có 18 bạn nam, 10 bạn nữ. Chọn 6 bạn để tham gia vào cuộc thi thể thao của trường. Tính xác suất sao cho 6 bạn được chọn, có ít nhất 1 bạn nữ.
Giải: Không gian mẫu khi chọn ngẫu nhiên 6 bạn có: [TEX]C_{28}^6[/TEX] cách
Nếu giải theo cách tính trực tiếp, thì ta phải chia 6 trường hợp và tính: 1 nữ 5 nam, 2 nữ 4 nam, 3 nữ 3 nam, 4 nữ 2 nam, 5 nữ 1 nam, 6 nữ. Do đó ta dùng phần bù sẽ nhanh hơn nhiều.
Số cách chọn 6 bạn đều là nam là: [tex]C_{18}^{6}[/tex]
=> Số cách chọn 6 bạn mà ít nhất có 1 bạn nữ là: [TEX]C_{28}^6-C_{18}^{6}[/TEX]
Vậy xác suất cần tìm là: [tex]\frac{C_{28}^6-C_{18}^{6}}{C_{28}^6}[/tex]
2. Hai xạ thủ cùng bắn vào bia, mỗi người bắn 1 lần. Xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 0.8, của người thứ 2 là 0.7. Tính xác suất sao cho có ít nhất 1 xạ thủ bắn trúng bia.
Giải: Ở bài toán lại có từ "có ít nhất 1...", như vậy ta nghĩ ngay đến biến cố đối, tính xác suất của việc không có ai bắn trúng bia.
Xác suất người 1 không bắn trúng là 0.2
Xác suất người 2 không bắn trúng là 0.3
Để cả 2 cùng không bắn trúng thì người 1 và 2 cùng phải bắn trượt, do đó xác suất là: 0.2 . 0.3 = 0.06
=> Xác suất có ít nhất 1 người bắn trúng là : 1-0.06=0.94
3. 2 người cùng chơi cờ, người nào thắng 5 ván trước là thắng. Biết xác suất để mỗi người thắng trong 1 ván là như nhau. người thứ nhất đang thắng 4 ván, người thứ 2 thắng 2 ván. Tính xác suất người thứ nhất thắng cuộc.
Giải: Để người thứ nhất thắng thì người thứ 2 phải thua. Do đó ta sử dụng biến cố đối : " người thứ 2 thắng cuộc". Người thứ 2 thắng khi ván cờ diễn ra 3 ván nữa, và người này thắng cả 3.
Xác suất thắng mỗi ván là 1/2 => xác suất thắng cả 3 ván là : [TEX](1/2)^3=1/8[/TEX]
Vậy xác suất để người thứ nhất thắng cuộc là: [TEX]1-1/8=7/8[/TEX]
Cho biến cố A, biến cố đối của A, kí hiệu [tex]\overline{ A}[/tex], là biến cố hiểu nôm na là : " không phải A". Nếu [tex]\overline{ A}[/tex] là biến cố đối của A, thì số lượng phần tử của A và [tex]\overline{ A}[/tex] tạo thành 1 không gian mẫu đầy đủ. Đồng thời A và [tex]\overline{ A}[/tex] không có phần tử nào trùng nhau.
Biến cố xung khắc: biến cố B gọi là xung khắc với A, nếu đã xảy ra B thì chắc chắn A không thể xảy ra. Như vậy, 2 biến cố đối nhau chắc chắn là 2 biến cố xung khắc, trong khi 2 biến cố xung khắc chưa chắc đã đối nhau.
Ví dụ: Gieo con xúc sắc 1 lần, biến cố A: "nhận được mặt 1 chấm" và biến cố B: "nhận được mặt hai chấm" là 2 biến cố xung khắc, vì không thể nào gieo 1 lần mà ta vừa nhận được mặt 1 chấm, vừa nhận mặt 2 chấm. Tuy nhiên chúng không đối nhau, vì kết hợp chúng không tạo thành không gian mẫu.
Trong trường hợp này, biến cố đối của A, [tex]\overline{ A}[/tex] :"Không nhân được mặt 1 chấm" , nói cách khác, là " nhận được mặt 2 hoặc 3 hoặc 4 hoặc 5 hoặc 6 chấm ".
* Vận dụng biến cố đối vào bài toán đếm ( hoặc bài toán xác suất ) :
- Mục đích sử dụng : việc tính trực tiếp số lượng phần tử của biến cố A quá dài, do phải chia nhiều trường hợp. Khi đó, ta tính số lượng phần tử của [tex]\overline{ A}[/tex], và tính số lượng phần tử không gian mẫu: [tex]n_{\Omega }[/tex] , rồi lấy [tex]n_{\Omega }[/tex]- [tex]n_{\overline{ A}}[/tex] là được [TEX]n_A[/TEX].
Về xác suất, ta có: [TEX]P_A=1-P_{\overline{ A}}[/TEX]
- Dấu hiệu nhận biết: thường bài toán có câu hỏi : "có ít nhất một..." là bài toán sẽ được chú ý áp dụng cách này.
1. Một lớp có 18 bạn nam, 10 bạn nữ. Chọn 6 bạn để tham gia vào cuộc thi thể thao của trường. Tính xác suất sao cho 6 bạn được chọn, có ít nhất 1 bạn nữ.
Giải: Không gian mẫu khi chọn ngẫu nhiên 6 bạn có: [TEX]C_{28}^6[/TEX] cách
Nếu giải theo cách tính trực tiếp, thì ta phải chia 6 trường hợp và tính: 1 nữ 5 nam, 2 nữ 4 nam, 3 nữ 3 nam, 4 nữ 2 nam, 5 nữ 1 nam, 6 nữ. Do đó ta dùng phần bù sẽ nhanh hơn nhiều.
Số cách chọn 6 bạn đều là nam là: [tex]C_{18}^{6}[/tex]
=> Số cách chọn 6 bạn mà ít nhất có 1 bạn nữ là: [TEX]C_{28}^6-C_{18}^{6}[/TEX]
Vậy xác suất cần tìm là: [tex]\frac{C_{28}^6-C_{18}^{6}}{C_{28}^6}[/tex]
2. Hai xạ thủ cùng bắn vào bia, mỗi người bắn 1 lần. Xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 0.8, của người thứ 2 là 0.7. Tính xác suất sao cho có ít nhất 1 xạ thủ bắn trúng bia.
Giải: Ở bài toán lại có từ "có ít nhất 1...", như vậy ta nghĩ ngay đến biến cố đối, tính xác suất của việc không có ai bắn trúng bia.
Xác suất người 1 không bắn trúng là 0.2
Xác suất người 2 không bắn trúng là 0.3
Để cả 2 cùng không bắn trúng thì người 1 và 2 cùng phải bắn trượt, do đó xác suất là: 0.2 . 0.3 = 0.06
=> Xác suất có ít nhất 1 người bắn trúng là : 1-0.06=0.94
3. 2 người cùng chơi cờ, người nào thắng 5 ván trước là thắng. Biết xác suất để mỗi người thắng trong 1 ván là như nhau. người thứ nhất đang thắng 4 ván, người thứ 2 thắng 2 ván. Tính xác suất người thứ nhất thắng cuộc.
Giải: Để người thứ nhất thắng thì người thứ 2 phải thua. Do đó ta sử dụng biến cố đối : " người thứ 2 thắng cuộc". Người thứ 2 thắng khi ván cờ diễn ra 3 ván nữa, và người này thắng cả 3.
Xác suất thắng mỗi ván là 1/2 => xác suất thắng cả 3 ván là : [TEX](1/2)^3=1/8[/TEX]
Vậy xác suất để người thứ nhất thắng cuộc là: [TEX]1-1/8=7/8[/TEX]
