sử dụng bất đẳng thức

K

kienthuc_toanhoc

cho a, b , c >0 và a+b =1.cmr:đề câu A nhầm thì phải đề sau khi sửa phải là thế này
A=$\frac{a}{b+c} $+$ \frac{b}{c+a} $+ $\frac{c}{a+b}$\geq$\frac{3}{2}$

B= $\frac{a²}{b+c}$ + $\frac{b²}{c+a}$ + $\frac{c²}{a+b}$\geq$\frac{a+b+c}{2}$
A=$\frac{a}{b+c} $+$ \frac{b}{c+a} $+ $\frac{c}{c+b}$\geq$\frac{3}{2}$
A=$\dfrac{a^2}{ab+ac}$+ $\dfrac{b^2}{bc+ba}$+ $\dfrac{c^2}{ac+bc}$
Sử dụng cauchy-schwarz ta được:
A=$\dfrac{a^2}{ab+ac}$ + $\dfrac{b^2}{bc+ba}$ + $\dfrac{c^2}{ac+bc}$\geq$\dfrac{(a+b+c)^2}{2.(ab+cb+ac)}$.
Ta sử dụng bất đẳng thức cô si với $(a+b+c)^2$ được $(a+b+c)^2$\geq3.(ab+bc+ca)
=>đpcm
B=$\frac{a²}{b+c}$ + $\frac{b²}{c+a}$ + $\frac{c²}{a+b}$\geq$\frac{a+b+c}{2}$
Sử dụng cauchy-schwarz ta được B=$\frac{a²}{b+c}$ + $\frac{b²}{c+a}$ + $\frac{c²}{a+b}$\geq$\frac{a+b+c}{2}$\geq$\dfrac{(a+b+c)^2}{2.(a+b+c)}$=$\frac{a+b+c}{2}$
=>đpcm.
 
0

0973573959thuy

Bài 1 : Đặt $A = \dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b}$

$B = \dfrac{b}{b + c} + \dfrac{c}{a + c} + \dfrac{a}{a + b}$

$C = \dfrac{c}{b + c} + \dfrac{a}{a + c} + \dfrac{b}{a + b}$

Ta có : B + C = 3

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức Cauchy với 3 số không âm : $a + b + c \ge 3. \sqrt[3]{abc}$ (1) (vì trong chương trình cơ bản chỉ cho sử dụng Cauchy 2 số)

Đặt $a = x^3; b = y^3; c = z^3$ thì : (1) $\leftrightarrow x^3 + y^3 + z^3 \ge 3xyz \leftrightarrow x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz) = \dfrac{1}{2}(x + y + z). [(x - y)^2 + (y- z)^2 + (z - x)^2] \ge 0$ (luôn đúng)

$\rightarrow a + b + c \ge \sqrt[3]{abc}$

Áp dụng bđt Cauchy 3 số có :

$A + B = \dfrac{a + b}{b + c} + \dfrac{b + c}{c + a} + \dfrac{c + a}{a + b} \ge 3$

$A + C \ge 3$

$\rightarrow 2A + B + C \ge 6 \leftrightarrow 2A \ge 3 \leftrightarrow A \ge 3/2 (dpcm)$

Bài 2 :

$\dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b + c}{4} = \dfrac{(2a)^2 + (b + c)^2}{4(b + c)} \ge \dfrac{4a(b + c)}{4(b + c)} = a$ (áp dụng bđt : $a^2 + b^2 \ge 2ab$)

Tương tự : $\dfrac{b^2}{a + c} + \dfrac{a + c}{4} \ge b; \dfrac{c^2}{a + b} + \dfrac{b + a}{4} \ge c$

Cộng theo vế các bđt trên được :

$\dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b^2}{c + a} + \dfrac{c^2}{a + b} + \dfrac{a + b + c}{2} \ge a + b + c \rightarrow đpcm$
 
Last edited by a moderator:
C

congchuaanhsang

1, VT+3=$(a+b+c)(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a})$

$2(VT+3)=[(a+b)+(b+c)+(c+a)][\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}]$\geq9

\LeftrightarrowVT\geq$\dfrac{3}{2}$
 
S

sieuquayno1

chỗ đầu phải là a+b+c=1 chứ đúng không bạn
ta có:$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+a}$+$\frac{c}{a+b}\geq$\frac{3}{2}$
\Leftrightarrow$\frac{a}{b+c}+1+$\frac{b}{c+a}$+1+$\frac{c}{a+b}$\geq$\frac{9}{2}$
\Leftrightarrow(a+b+c)($\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$+$\frac{1}{a+b}$\geq$\frac{9}{2}$
\Leftrightarrow(b+c+c+a+a+b)($\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$+$\frac{1}{a+b}$\geq9
ta cần chứng minh bất đẳng thức này là đúng,theo bất đẳng thức bunhiacopski ta có:
(b+c+c+a+a+b)($\frac{1}{$\sqrt[1]{b+c}^2}$+$\frac{1}{$\sqrt[1]{c+a}^2}$+$\frac{1}{$\sqrt[1]{a+b}^2}$)\geq(1+1+1)^2=9\Rightarrowđpcm
dấu bằng xảy ra khia=b=c=$\frac{1}{3}$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom