$\sqrt[]{a^2-ab+b^2}+\sqrt[]{b^2-bc+c^2}$\geq $\sqrt[]{a^2+ac+c^2}$

[nganxuyen97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

đã giải

Với $a,b$ và $c$ là 3 số tuỳ ý.Chứng minh rằng:
$\sqrt[]{a^2-ab+b^2}+\sqrt[]{b^2-bc+c^2}$\geq $\sqrt[]{a^2+ac+c^2}$

 

[hthtb22]

Cách khác nè :
Dùng phương pháp hình học
- Xét O bất kỳ
Lấy $OA=b;OB=a;OC=c; \widehat{BOA}=\widehat{COA}=\dfrac{1}{2}\widehat{BOC}=60^o$.
Ta có: $BC=\sqrt{a^2+ac+c^2}$;
$CA=\sqrt{b^2-bc+c^2}$;
$BA=\sqrt{a^2-ac+c^2}$.
Bđt tương đương với:
$CA+BA\ge BC$-luôn đúng.

 

[vy000]

Áp dụng Mincopsky:

$\sqrt[]{a^2-ab+b^2}+\sqrt[]{b^2-bc+c^2}$

$=\sqrt[]{\dfrac34a^2+(\dfrac a2-b)^2}+\sqrt[]{\dfrac34 b^2+(b-\dfrac c2)^2}$

$\ge \sqrt[]{(\dfrac a2-b+b-\dfrac c2)^2+(\dfrac{\sqrt[]{3}}2a+\dfrac{\sqrt[]{3}}2c)^2}$

$=\sqrt[]{a^2+ac+c^2}$

____________________________________________________________________________