$[\sqrt[3]{1}]+[\sqrt[3]{2}]+[\sqrt[3]{3}]+...+[\sqrt[3]{x^3-1}]=y$

[thinhrost1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm các số nguyên tố x,y thỏa mãn phuơng trình:

$[\sqrt[3]{1}]+[\sqrt[3]{2}]+[\sqrt[3]{3}]+...+[\sqrt[3]{x^3-1}]=y$​

 

[tensa_zangetsu]

Có:
Nháp:
$[\sqrt[3]{1}]=[\sqrt[3]{2}]=[\sqrt[3]{3}]=[\sqrt[3]{4}]=...=[\sqrt[3]{7}]=1$ (7 số)

$[\sqrt[3]{8}]=[\sqrt[3]{9}]=[\sqrt[3]{10}]=...=[\sqrt[3]{26}]=2$ (19 số)

$[\sqrt[3]{27}]=[\sqrt[3]{28}]=...=[\sqrt[3]{63}]=3$ (37 số)

$[\sqrt[3]{64}]=[\sqrt[3]{65}]=...=[\sqrt[3]{124}]=4$ (61 số)

$[\sqrt[3]{125}]=[\sqrt[3]{126}]=...[\sqrt[3]{215}]=5$ (91 số)

$[\sqrt[3]{216}]=[\sqrt[3]{217}]=...=[\sqrt[3]{342}]=6$ (217 số)

$...$

$[\sqrt[3]{x^3-1}]=x-1$

Ta có công thức tổng quát sau: $\sum\limits_{i=2}^{x} (3i^2-3i+1)(i-1)$

Nhập vào máy và ra một số kết quả, có $x=2, y=7$ là thỏa mãn

Vậy $x=2, y=7$ (Quy nạp không hoàn toàn )

 

[thinhrost1]

Có:
Nháp:
$[\sqrt[3]{1}]=[\sqrt[3]{2}]=[\sqrt[3]{3}]=[\sqrt[3]{4}]=...=[\sqrt[3]{7}]=1$ (7 số)

$[\sqrt[3]{8}]=[\sqrt[3]{9}]=[\sqrt[3]{10}]=...=[\sqrt[3]{26}]=2$ (19 số)

$[\sqrt[3]{27}]=[\sqrt[3]{28}]=...=[\sqrt[3]{63}]=3$ (37 số)

$[\sqrt[3]{64}]=[\sqrt[3]{65}]=...=[\sqrt[3]{124}]=4$ (61 số)

$[\sqrt[3]{125}]=[\sqrt[3]{126}]=...[\sqrt[3]{215}]=5$ (91 số)

$[\sqrt[3]{216}]=[\sqrt[3]{217}]=...=[\sqrt[3]{342}]=6$ (217 số)

$...$

$[\sqrt[3]{x^3-1}]=x-1$

Ta có công thức tổng quát sau: $\sum\limits_{i=2}^{x} (3i^2-3i+1)(i-1)$

Nhập vào máy và ra một số kết quả, có $x=2, y=7$ là thỏa mãn

Vậy $x=2, y=7$ (Quy nạp không hoàn toàn )

Cái công thức ở đâu ra vậy ?? Chứng minh đuợc không ?

 

[tensa_zangetsu]

Cái công thức ở đâu ra vậy ?? Chứng minh đuợc không ?

Có:
$\begin{cases}
7=2^3-1\\
26=3^3-1\\
63=4^3-1\\
...\\
x^3-1\\
\end{cases}$

nên chia ra các cụm:$[1;7], [8;26], [27; 124],..., [(x-1)^3; x^3-1]$

Ta cũng có:
$\begin{cases}61-37=24\\37-19=18\\19-7=12\\ \end{cases}$ và $24-18=18-12$
nên công thức xác định số chữ số từng cụm sẽ theo quy luật, là giá trị hàm số tam thức bậc 2:
$f(x)=ax^2+bx+c$
Thay $x=2, x=3, x=4$ và giải hệ ra $f(x)=3x^2-3x+1$

Tổng của mỗi cụm số được xác định bởi công thức: $(3x^2-3x+1)(x-1)$ với $x \ge 2, x \in N$ (tự hiểu)

Dùng $\sum$ để lập được công thức này: $\sum\limits_{i=2}^{n} (3i^2-3i+1)(i-1)$