spk

M

minhtuyb

Có lẽ hay nhất là Cô-si :):
[tex]\frac{b+c}{\sqrt{a}}+2\sqrt{a}\geq ^{AM-GM} 2\sqrt{\frac{b+c}{\sqrt{a}}.2\sqrt{a}}=2\sqrt{b+c}\geq ^{Cauchy-Schwarz} 2(\sqrt{b}+\sqrt{c})[/tex]
Xây dựng các BĐT hoàn toàn tương tự rồi cộng vào, chuyển vế ta đc:
[tex]\sum \frac{b+c}{\sqrt{a}}\geq \sum \sqrt{a} +\sum \sqrt{a}\geq^{AM-GM} \sum \sqrt{a}+3\sqrt{\sqrt{a}.\sqrt{b}.\sqrt{c}}=\sum \sqrt{a}+3<Q.E.D>[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi [tex]a=b=c=1[/tex]
 
M

minhtuyb

Chết cha, em đánh giá nhầm ở chỗ Bunhi, anh thông cảm :-SS:
anhtruong10a9 said:
minh co bai nay cung hay mong anh em tham khao...
cho a,b,c la cac so duong va a.b.c=1
[TEX] cmr: \frac{b+c}{\sqrt[]{a}}+\frac{c+a}{\sqrt[]{b}}+\frac{a+b}{\sqrt[]{c}}\geq\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}+\sqrt[]{c}+3[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Có: [tex]\sum \frac{b+c}{\sqrt{a}}\geq^{AM-GM} \sum \frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}=2\sum \sqrt{\frac{bc}{a}}[/tex]
+)Có: [tex]\sum \sqrt{\frac{bc}{a}}\geq ^{AM-GM}\sqrt[3]{\prod \sqrt{\frac{bc}{a}}}=1[/tex] do abc=1
Giờ phải c/m :[tex]\sum \sqrt{\frac{bc}{a}}\geq \sum \sqrt{a}(1)[/tex].Thật vậy, ta có:
[tex]\sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{ac}{b}}\geq 2\sqrt{\sqrt{\frac{bc}{a}}.\sqrt{\frac{ac}{b}}}=2\sqrt{c}[/tex]
Tương tự:[tex]\sqrt{\frac{ac}{b}}+\sqrt{\frac{ab}{c}}\geq 2\sqrt{\sqrt{\frac{ac}{b}}.\sqrt{\frac{ab}{c}}}=2\sqrt{a}[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{ab}{c}}\geq 2\sqrt{\sqrt{\frac{bc}{a}}.\sqrt{\frac{ab}{c}}}=2\sqrt{b}[/tex]
Cộng vế với vế có BĐT (1)
Tóm lại ta có ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi [tex]a=b=c=1[/tex]
Chắc ko nhầm nữa đâu :p
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom