<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax" id="MathJax-Element-13-Frame" role="textb

[thinhrost1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\dfrac{a^2}{2a^2+(b+c-a)^2}+\dfrac{b^2}{2b^2+(a+c-b)^2}+\dfrac{c^2}{2c^2+(a+b-c)^2}\le1$

 

[huynhbachkhoa23]

Chuẩn hóa $a+b+c=3$. Bất đẳng thức trở thành:
$$\sum\limits_{sym}\dfrac{(3-2a)^2}{6a^2-12a+9}$$
Theo nguyên lý Dirichlet ta giả sử $(a-1)(b-1) \ge 0$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$LHS \ge \dfrac{(6-2a-2b)^2}{6(a^2+b^2)-12(a+b)+18}+\dfrac{(3-2c)^2}{6c^2-12c+9} \ge \dfrac{(3-2c)^2}{6c^2-12c+9}+\dfrac{2c^2}{3c^2-6c+6}\ge 1 \leftrightarrow c^2(c-1)^2 \ge 0$$

 

[thinhrost1]

Chuẩn hóa $a+b+c=3$. Bất đẳng thức trở thành:
$$\sum\limits_{sym}\dfrac{(3-2a)^2}{6a^2-12a+9}$$
Theo nguyên lý Dirichlet ta giả sử $(a-1)(b-1) \ge 0$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$LHS \ge \dfrac{(6-2a-2b)^2}{6(a^2+b^2)-12(a+b)+18}+\dfrac{(3-2c)^2}{6c^2-12c+9} \ge \dfrac{(3-2c)^2}{6c^2-12c+9}+\dfrac{2c^2}{3c^2-6c+6}\ge 1 \leftrightarrow c^2(c-1)^2 \ge 0$$

)

Đặt $x=b+c-a,y=a+c-b,z=a+b-c\Rightarrow 2a=y+z,2b=x+z,2c=x+y$. Khi đó, bất đẳng thức trên tương đương với
$$\dfrac{2x^2}{2x^2+(y+z)^2}+ \dfrac{2y^2}{2y^2+(x+z)^2}+ \dfrac{2z^2}{2z^2+(x+y)^2}\ge 1\ ( * )$$
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có
$$VT_{( * )}\ge \dfrac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{2[(xy+xz)^2+(xy+yz)^2+(xz+yz)^2]+ (x+y)^4+(y+z)^4+(x+z)^4}$$
Mặt khác, $2 (x^2+y^2+z^2)^2 \ge 2[(xy+xz)^2+(xy+yz)^2+(xz+yz)^2]+ (x+y)^4+(y+z)^4+(x+z)^4$ đúng theo $AM-GM$.
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

 

[huynhbachkhoa23]

)

Đặt $x=b+c-a,y=a+c-b,z=a+b-c\rightarrow 2a=y+z,2b=x+z,2c=x+y$. Khi đó, bất đẳng thức trên tương đương với
$$\dfrac{2x^2}{2x^2+(y+z)^2}+ \dfrac{2y^2}{2y^2+(x+z)^2}+ \dfrac{2z^2}{2z^2+(x+y)^2}\ge 1\ ( * )$$
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có
$$VT_{( * )}\ge \dfrac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{2[(xy+xz)^2+(xy+yz)^2+(xz+yz)^2]+ (x+y)^4+(y+z)^4+(x+z)^4}$$
Mặt khác, $2 (x^2+y^2+z^2)^2 \ge 2[(xy+xz)^2+(xy+yz)^2+(xz+yz)^2]+ (x+y)^4+(y+z)^4+(x+z)^4$ đúng theo $AM-GM$.
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Sai rồi -_- Cho $x=y=z=1$ là thấy sai mất rồi -_-

$\sum \dfrac{2x^2}{2x^2+(y+z)^2}=\sum \dfrac{2(xy+xz)^2}{2(xy+xz)^2+(y+z)^4} \ge \dfrac{8(xy+yz+zx)^2}{2\sum (xy+xz)^2+\sum (y+z)^4} \ge 1$

Mà cái này cũng chả đúng.

Thực tế dùng Cauchy-Schwarz khi chuẩn hóa chả được thì lúc đặt ẩn cũng chả được ) Chả cần nói nhiều )

P/s: Nào là luôn đúng theo AM-GM ) buồn cười quá )

 

[thinhrost1]

Sai rồi -_- Cho $x=y=z=1$ là thấy sai mất rồi -_-

$\sum \dfrac{2x^2}{2x^2+(y+z)^2}=\sum \dfrac{2(xy+xz)^2}{2(xy+xz)^2+(y+z)^4} \ge \dfrac{8(xy+yz+zx)^2}{2\sum (xy+xz)^2+\sum (y+z)^4} \ge 1$

Mà cái này cũng chả đúng.

Thực tế dùng Cauchy-Schwarz khi chuẩn hóa chả được thì lúc đặt ẩn cũng chả được ) Chả cần nói nhiều )

P/s: Nào là luôn đúng theo AM-GM ) buồn cười quá )

Nhầm tí )

Sửa lại

Đặt $x=b+c-a,y=a+c-b,z=a+b-c\Rightarrow 2a=y+z,2b=x+z,2c=x+y$. Khi đó, bất đẳng thức trên tương đương với
$$\dfrac{2x^2}{2x^2+(y+z)^2}+ \dfrac{2y^2}{2y^2+(x+z)^2}+ \dfrac{2z^2}{2z^2+(x+y)^2}\ge 1\ ( * )$$
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có
$$VT_{( * )}\ge \dfrac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{(xy+xz)^2+(xy+yz)^2+(xz+yz)^2+ 2x^4+2y^4+2z^4}$$
Mặt khác, $2 (x^2+y^2+z^2)^2 \ge (xy+xz)^2+(xy+yz)^2+(xz+yz)^2+ 2x^4+2y^4+2z^4$ đúng theo $AM-GM$.
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

 

[huynhbachkhoa23]

Nhầm tí )

Sửa lại

Đặt $x=b+c-a,y=a+c-b,z=a+b-c\Rightarrow 2a=y+z,2b=x+z,2c=x+y$. Khi đó, bất đẳng thức trên tương đương với
$$\dfrac{2x^2}{2x^2+(y+z)^2}+ \dfrac{2y^2}{2y^2+(x+z)^2}+ \dfrac{2z^2}{2z^2+(x+y)^2}\ge 1\ ( * )$$
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có
$$VT_{( * )}\ge \dfrac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{(xy+xz)^2+(xy+yz)^2+(xz+yz)^2+ 2x^4+2y^4+2z^4}$$
Mặt khác, $2 (x^2+y^2+z^2)^2 \ge (xy+xz)^2+(xy+yz)^2+(xz+yz)^2+ 2x^4+2y^4+2z^4$ đúng theo $AM-GM$.
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Cho em hỏi anh chị trên toàn diễn đàn, bài làm đúng nhưng sao không đảm bảo dấu bằng $a\to 0, b=c$ và hoán vị. Theo lý thuyết thì phải đảm bảo chứ @-)