Toán 9 số thực

[Lephuonganh2005]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q=1/x+y+1 + 1/y+z+1 + 1/z+x+1

 

[Hanhh Mingg]

Đặt [tex]x=a^3,y=b^3,z=c^3 (a,b,c>0)[/tex]
Do xyz=1 nên[tex]a^3b^3c^3=1[/tex] hay abc=1
Khi đó ta có: [tex]x+y+1=a^3+b^3+abc=(a+b)(a^2-ab+b^2)+abc[/tex]
Ta có: [tex]a^2+b^2\geq 2ab\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\geq ab\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)+abc\geq (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)[/tex]
Do đó: [tex]\frac{1}{x+y+1}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}[/tex]
CMTT ta có bđt:[tex]Q\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ac(a+b+c)}[/tex]
hay [tex]Q\leq \frac{abc}{ab(a+b+c)}+\frac{abc}{bc(a+b+c)}+\frac{abc}{ac(a+b+c)}[/tex] (vì abc=1)
[tex]\Leftrightarrow Q\leq \frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1[/tex]
Vậy GTLN của Q là 1 tại x=y=z=1