Toán so sánh

[Võ Phương Hiền]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cmr
[tex]\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}< \sqrt{2}[/tex]

 

[chi254]

cmr
[tex]\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}< \sqrt{2}[/tex]

Ta có :
[TEX]\dfrac{1}{(n + 1)\sqrt{n}}[/TEX]
[TEX]= \dfrac{\sqrt{n}}{(n + 1)n}[/TEX]
[TEX]= \sqrt{n}(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1})[/TEX]
[TEX]= \sqrt{n}(\dfrac{1}{\sqrt{n}} + \dfrac{1}{\sqrt{n+1}})(\dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n+1}})[/TEX]
[TEX]= (1 + \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})(\dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}) < 2(\dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n+1}})[/TEX]

Áp dụng vào biểu thức , ta dễ dàng chứng minh được
[tex]\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}< \sqrt{2}[/tex]