cho số phức thoả mãn : z + 1/z = 1
tính : z^2000 + [1/z]^2000 = ?
[TEX]z+ \frac{1}{x}=1[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow z^2 - z +1 = 0[/TEX]
Tính [tex]\large\Delta = -3 = 3i^2[/tex]
[TEX] [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left[\begin{z_1 = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}}\\{z_2 = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}} [/TEX]
[TEX]z_1 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i[/TEX]
[TEX]\frac{1}{z_1}= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i[/TEX](dùng chia số phức ý)
áp dụng công thức số phức lượng giác
[TEX]cos \ a \ + \ i(sin \ a)[/TEX]
thì
[TEX]z_1 = cos {\frac{5\large\Pi}{3}} \ + \ i(sin {\frac{5\large\Pi}{3}}) [/TEX]
[TEX]\frac{1}{z_1} = cos {\frac{\large\Pi}{3}} \ + \ i(sin {\frac{\large\Pi}{3}})[/TEX]
Thay [TEX]z_1[/TEX]và [TEX]\frac{1}{z_1}[/TEX] vào [TEX]z^{2000} +({\frac{1}{z}})^{2000}[/tex]
Dùng công thức (mình vắn tắt chút đó)
[TEX]{cos \ a \ + \ i(sin \ a)}^{n} = cos \ na \ + \ i(sin \ na)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow cos {\frac{2000.5\large\Pi}{3}} \ + \ i(sin {\frac{2000.5\large\Pi}{3}})[/TEX] + [TEX]cos {\frac{2000.\large\Pi}{3}} \ + \ i(sin {\frac{2000.\large\Pi}{3}})[/TEX]
NHóm thực với thực, ảo với ảo, rùi tính cos và sin, ta sẽ có KQ với [TEX]z_1[/TEX] là
-1 + [TEX](\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})i[/TEX] = -1
Tương tự với [TEX]z_2[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn