Số nguyên

[butchihamhoc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tìm ba số nguyên dương(x,y,z) thỏa mãn:
x+y+z=xyz
bài này có đáp số là hoán vị của (1,2,3),nhưng tớ không biết cách giải

 

[tienpv]

tìm ba số nguyên dương(x,y,z) thỏa mãn:
x+y+z=xyz
bài này có đáp số là hoán vị của (1,2,3),nhưng tớ không biết cách giải

Giải:
Không làm mất tính tổng quát, giả sử x\geqy\geqz
ta có xyz=x+y+z \leq 3x
=> yz \leq3
=>z, y chỉ có thể bằng 1,2 hoặc 3
+ z=1. thay vào trên ta có: x+y+1 = xy \geqx+2 -> y>1
y =2, thay vào ta được x=3
y =3 => x+4 = 4x => 3x =4 loại (do x nguyên dương)
+ z =2, thay vào ta có : x+y+2 =2xy => 2 = x(y-1)+y(x-1) >=x+y (do x\geqy\geqz=2 nên x-1 \geq1; y-1\geq1) Loại do x+y>=4
+ z=3=> y=3 (vì y\geqz và y,z\leq3). thay vào ta có
x+6 = 9x => 6 = 8x loại (do x nguyên dương)
vậy ta có bộ nghiệm (z,y,x) = (1,2,3) và hoán vị cho nhau

 

[hkientm]

do x, y, z bình đẳng nên xét x \leq y \leq z.
ta có
xyz = x+y+z mà cại có x \leq y \leq z \Rightarrow xyz \leq 3z \Rightarrow xy \leq 3.
mà xy nguyên dương \Rightarrow ta có các TH;
1. xy =1 \Rightarrow x =y =1 \Rightarrow thế vào pt ban đầu có 2 +z =2 (vô nghiệm)
2. xy = 2, x \leq y \Rightarrow x=1, y=2 \Rightarrow z=3 (tm)
3. xy= 3, x \leq y \Rightarrow x=1, y=3 \Rightarrow z=2 (không thỏa mãn)

\Rightarrow x,y,z là hoán vị của {1,2,3}

chả biết đúng không

 

[buivanbao123]

Giả sử 1 \leq x \leq y \leq z
\Rightarrow pt: x+y+z=xyz \leq 3z \Rightarrow xy \leq 3

Nếu x=y=z \Rightarrow $3z=z^{3}$ => $z=\sqrt{3}$ (loại)

\Rightarrow xy=1 hoặc xy=2

a)Khi xy=1 \Rightarrow x=1;y=1 \Rightarrow 1+1+z=1.1.z(loại)

b)Khi xy=2 \Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
x=1 & \\
y=2 &
\end{matrix}\right.$ \Rightarrow 1+2+z=1.2.z \Leftrightarrow z=3
\Rightarrow x=1,y=2,z=3
suy ra sẽ có 6 cặp nghiệm thỏa mãn đề bài

 

[congchuaanhsang]

tìm ba số nguyên dương(x,y,z) thỏa mãn:
x+y+z=xyz

Chia cả 2 vế cho xyz ta có:

$\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}=1$

Giả sử x \leq y \leq z thì $x^2$ \leq $xy$ \leq $xz$\leq $yz$

\Leftrightarrow $\dfrac{1}{x^2}$ \geq $\dfrac{1}{xy}$ \geq $\dfrac{1}{xz}$ \geq $\dfrac{1}{yz}$

\Rightarrow $\dfrac{3}{x^2}$ \geq 1 \Leftrightarrow $x^2$ \leq 3

$x$ nguyên dương \Rightarrow $x=1$

Thay vào làm tương tự với y,z