Toán 8 Số nguyên tố

[Cái Bóng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm tất cả các số nguyên tố p,q sao cho
chia hết cho p
(Mong ae làm chi tiết)

 

[7 1 2 5]

Không mất tính tổng quát, xét [tex]5^p-2^p\vdots p[/tex] hoặc [tex]5^q-2^q \vdots p[/tex]
+ [tex]5^p-2^p\vdots p[/tex]. Theo định lí Fermat thì [tex]5^p-2^p \equiv 5-2=3(modp) \Rightarrow 3 \vdots p \Rightarrow p=3[/tex]
+ [tex]5^q-2^q \vdots p[/tex]
Vì [tex](p-1,q)=1[/tex] nên tồn tại x,y nguyên thỏa mãn [tex]qy-x(p-1)=1 \Rightarrow qy=x(p-1)+1[/tex]
[tex]5^q \equiv 2^q(modp) \Rightarrow 5^{qy} \equiv 2^{qy}(modp) \Rightarrow 5^{1+x(p-1)} \equiv 2^{1+x(p-1)}(modp) \Rightarrow 5^{1-x}.5^{px} \equiv 2^{1-x}.2^{px}(modp)[/tex]
Vì [tex]5^{px} \equiv 5^x(modp),2^{px} \equiv 2^x(modp) \Rightarrow 5^{1-x}.5^x \equiv 2^{1-x}.2^x(modp) \Rightarrow 5 \equiv 2(modp) \Rightarrow 3 \vdots p \Rightarrow p=3[/tex]
Thay vào ta có: [tex](5^3-2^3)(5^q-2^q) \vdots 3q \Rightarrow 3.13(5^q-2^q) \vdots q \Rightarrow q=3 hoặc q=13 hoặc 5^q-2^q \vdots q[/tex]
Với [tex]5^q-2^q \vdots q[/tex] tương tự như p ta tìm được q=3
Vậy [tex](p,q)=(3,3);(3,13);(13,3)[/tex]

 

[ankhongu]

Không mất tính tổng quát, xét [tex]5^p-2^p\vdots p[/tex] hoặc [tex]5^q-2^q \vdots p[/tex]
+ [tex]5^p-2^p\vdots p[/tex]. Theo định lí Fermat thì [tex]5^p-2^p \equiv 5-2=3(modp) \Rightarrow 3 \vdots p \Rightarrow p=3[/tex]
+ [tex]5^q-2^q \vdots p[/tex]
Vì [tex](p-1,q)=1[/tex] nên tồn tại x,y nguyên thỏa mãn [tex]qy-x(p-1)=1 \Rightarrow qy=x(p-1)+1[/tex]
[tex]5^q \equiv 2^q(modp) \Rightarrow 5^{qy} \equiv 2^{qy}(modp) \Rightarrow 5^{1+x(p-1)} \equiv 2^{1+x(p-1)}(modp) \Rightarrow 5^{1-x}.5^{px} \equiv 2^{1-x}.2^{px}(modp)[/tex]
Vì [tex]5^{px} \equiv 5^x(modp),2^{px} \equiv 2^x(modp) \Rightarrow 5^{1-x}.5^x \equiv 2^{1-x}.2^x(modp) \Rightarrow 5 \equiv 2(modp) \Rightarrow 3 \vdots p \Rightarrow p=3[/tex]
Thay vào ta có: [tex](5^3-2^3)(5^q-2^q) \vdots 3q \Rightarrow 3.13(5^q-2^q) \vdots q \Rightarrow q=3 hoặc q=13 hoặc 5^q-2^q \vdots q[/tex]
Với [tex]5^q-2^q \vdots q[/tex] tương tự như p ta tìm được q=3
Vậy [tex](p,q)=(3,3);(3,13);(13,3)[/tex]

Cho mình hỏi ở đây tại sao (p - 1, q) = 1 lại chắc chắn tồn tại 2 số nguyên x, y như bạn nói vậy ạ ?

 

[7 1 2 5]

Cho mình hỏi ở đây tại sao (p - 1, q) = 1 lại chắc chắn tồn tại 2 số nguyên x, y như bạn nói vậy ạ ?

Cái này bạn xem như là thừa nhận đi bạn. Mình chỉ biết chứ vẫn đang nghĩ cách chứng minh nha bạn.