Toán 9 Số nguyên tố

[ankhongu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho [tex]\frac{a^2(b - a)}{b + a}[/tex] là bình phương của một số nguyên tố

Bài này mình đang chưa rõ phải làm theo hướng nào. Hiện mình đang nghĩ là cự đặt bằng p^2 rồi giải ra xem được gì không, mà kết quả là đến giờ mình vẫn chưa ra được gì

Bài này bạn Mộc Nhãn có giải cho mình nhưng mình nghĩ cách làm của bạn ấy bị sai ở một số chỗ...

Ai giúp mình với

 

[Lê.T.Hà]

[tex]\frac{a^2(b-a)}{a+b}=p^2\Leftrightarrow a^2b-a^3=ap^2+bp^2\Leftrightarrow b(a^2-p^2)=a^3+ap^2\Leftrightarrow b=\frac{a^3+ap^2}{a^2-p^2}[/tex]
- Nếu [tex]a\vdots p\Rightarrow a=kp\Rightarrow b=\frac{kp(k^2+1)}{k^2-1}[/tex]
Nếu [tex]k[/tex] chẵn [tex]\Rightarrow (k;k^2-1);(k^2+1;k^2-1)[/tex] đều nguyên tố cùng nhau nên [tex]k(k^2+1)[/tex] không chia hết [tex]k^2-1\Rightarrow p\vdots k^2-1\Rightarrow p=k^2-1[/tex]
[tex]\Rightarrow p=(k+1)(k-1)\Rightarrow k-1=1\Rightarrow k=2\Rightarrow p=3\Rightarrow a=6;\: b=10[/tex]
Nếu k lẻ [tex]\Rightarrow k^2-1\vdots 4[/tex], mà [tex]k^2+1=(2n+1)^2+1=4(n^2+n)+2[/tex] chia hết cho 2 nhưng ko chia hết cho 4 [tex]\Rightarrow p=2[/tex]
[tex]\Rightarrow b=\frac{2k^3+2k}{k^2-1}=\frac{2k(k^2-1)+4k}{k^2-1}\Rightarrow 4k\vdots k^2-1\Rightarrow 4k\geq k^2-1\Rightarrow 1< k<5[/tex]
Thay k từ 2 đến 4 không có giá trị nào thỏa mãn [tex]4k\vdots k^2-1[/tex]
- Nếu a không chia hết cho p
[tex]\Rightarrow b=\frac{a(a^2+p^2)}{a^2-p^2}[/tex]
Gọi ước chung [tex](a^2+p^2;a^2-p^2)=d\Rightarrow 2p^2\vdots d\Rightarrow d=1;2[/tex] (d không thể bằng p; 2p hoặc gì gì đó liên quan đến p, vì giả sử [tex]d=2p\Rightarrow a^2+p^2\vdots 2p\Rightarrow a^2+p^2\vdots p\Rightarrow a^2\vdots p\Rightarrow a\vdots p[/tex] mâu thuẫn giả thiết)
Nếu [tex]d=1\Rightarrow a\vdots a^2-p^2\Rightarrow a\vdots (a+p)(a-p)\Rightarrow a\vdots a+p[/tex] vô lý
Nếu [tex]d=2\Rightarrow 2a\vdots a^2-p^2\Rightarrow 2a^2\vdots a^2-p^2\Rightarrow 2a^2-2p^2+2p^2\vdots a^2-p^2\Rightarrow 2p^2\vdots a^2-p^2[/tex]
Mà [tex]2p^2[/tex] chỉ có các ước [tex]1;2;p;2p;p^2;2p^2[/tex]
Ta sẽ có các TH sau:
[tex]a^2-p^2=1\Rightarrow (a+p)(a-p)=1[/tex] vô nghiệm
[tex](a+p)(a-p)=2[/tex] vô nghiệm
[tex]a^2-p^2=p\Rightarrow a^2=p^2+p=p(p+1)[/tex] vô nghiệm
[tex]a^2-p^2=2p\Rightarrow a^2=p^2+2p\Rightarrow p^2<a^2<(p+1)^2[/tex] vô nghiệm
[tex]a^2-p^2=p^2\Rightarrow a^2=2p^2[/tex] hiển nhiên vô nghiệm do 2 ko phải SCP
[tex]a^2-p^2=2p^2\Rightarrow a^2=3p^2[/tex] tương tự bên trên
Vậy pt đã cho có cặp nghiệm duy nhất [tex](a;b)=(6;10)[/tex]

 

[ankhongu]

[tex]\frac{a^2(b-a)}{a+b}=p^2\Leftrightarrow a^2b-a^3=ap^2+bp^2\Leftrightarrow b(a^2-p^2)=a^3+ap^2\Leftrightarrow b=\frac{a^3+ap^2}{a^2-p^2}[/tex]
- Nếu [tex]a\vdots p\Rightarrow a=kp\Rightarrow b=\frac{kp(k^2+1)}{k^2-1}[/tex]
Nếu [tex]k[/tex] chẵn [tex]\Rightarrow (k;k^2-1);(k^2+1;k^2-1)[/tex] đều nguyên tố cùng nhau nên [tex]k(k^2+1)[/tex] không chia hết [tex]k^2-1\Rightarrow p\vdots k^2-1\Rightarrow p=k^2-1[/tex]
[tex]\Rightarrow p=(k+1)(k-1)\Rightarrow k-1=1\Rightarrow k=2\Rightarrow p=3\Rightarrow a=6;\: b=10[/tex]
Nếu k lẻ [tex]\Rightarrow k^2-1\vdots 4[/tex], mà [tex]k^2+1=(2n+1)^2+1=4(n^2+n)+2[/tex] chia hết cho 2 nhưng ko chia hết cho 4 [tex]\Rightarrow p=2[/tex]
[tex]\Rightarrow b=\frac{2k^3+2k}{k^2-1}=\frac{2k(k^2-1)+4k}{k^2-1}\Rightarrow 4k\vdots k^2-1\Rightarrow 4k\geq k^2-1\Rightarrow 1< k<5[/tex]
Thay k từ 2 đến 4 không có giá trị nào thỏa mãn [tex]4k\vdots k^2-1[/tex]
- Nếu a không chia hết cho p
[tex]\Rightarrow b=\frac{a(a^2+p^2)}{a^2-p^2}[/tex]
Gọi ước chung [tex](a^2+p^2;a^2-p^2)=d\Rightarrow 2p^2\vdots d\Rightarrow d=1;2[/tex] (d không thể bằng p; 2p hoặc gì gì đó liên quan đến p, vì giả sử [tex]d=2p\Rightarrow a^2+p^2\vdots 2p\Rightarrow a^2+p^2\vdots p\Rightarrow a^2\vdots p\Rightarrow a\vdots p[/tex] mâu thuẫn giả thiết)
Nếu [tex]d=1\Rightarrow a\vdots a^2-p^2\Rightarrow a\vdots (a+p)(a-p)\Rightarrow a\vdots a+p[/tex] vô lý
Nếu [tex]d=2\Rightarrow 2a\vdots a^2-p^2\Rightarrow 2a^2\vdots a^2-p^2\Rightarrow 2a^2-2p^2+2p^2\vdots a^2-p^2\Rightarrow 2p^2\vdots a^2-p^2[/tex]
Mà [tex]2p^2[/tex] chỉ có các ước [tex]1;2;p;2p;p^2;2p^2[/tex]
Ta sẽ có các TH sau:
[tex]a^2-p^2=1\Rightarrow (a+p)(a-p)=1[/tex] vô nghiệm
[tex](a+p)(a-p)=2[/tex] vô nghiệm
[tex]a^2-p^2=p\Rightarrow a^2=p^2+p=p(p+1)[/tex] vô nghiệm
[tex]a^2-p^2=2p\Rightarrow a^2=p^2+2p\Rightarrow p^2<a^2<(p+1)^2[/tex] vô nghiệm
[tex]a^2-p^2=p^2\Rightarrow a^2=2p^2[/tex] hiển nhiên vô nghiệm do 2 ko phải SCP
[tex]a^2-p^2=2p^2\Rightarrow a^2=3p^2[/tex] tương tự bên trên
Vậy pt đã cho có cặp nghiệm duy nhất [tex](a;b)=(6;10)[/tex]

Bài này anh phân tích như thế nào mà ra cách giải hay vậy ạ ? Hay là cả kinh nghiệm làm bài nữa thế ạ ?

 

[Lê.T.Hà]

Đầu tiên mình thử theo hướng bạn Mộc Nhãn mà thấy dài quá với 1 số chỗ ko thể biện luận nổi nên nhìn lại một lúc thì thấy biến b nó chỉ có bậc nhất nên nghĩ tới chuyện tách nó ra và sau đó đơn giản là 1 bài toán xét ước thôi.
Với bài làm bên trên cũng chỉ là thô sơ, 1 số chỗ có thể rút ngắn đi nhiều hoặc biện luận đơn giản hơn, ví dụ 4 TH cuối cùng do a ko chia hết cho p nên loại được luôn cả 4 TH đó chỉ bằng 1 dòng biện luận, hoặc TH tính ra 1<k<5 mà k lẻ nên suy được luôn k=3 khỏi thay 2 và 4 vân vân và vân vân...
Hơn nữa, mình không phải "anh"