Toán 9 Số nguyên tố

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho các số nguyên dương [TEX]m, n[/TEX] thoả mãn [TEX]m+n+1[/TEX] là 1 ước nguyên tố của [TEX]2(m^2+n^2)-1[/TEX].
CMR: [TEX]m=n[/TEX]

Bài 2: Tìm các số nguyên tố [TEX]p, q[/TEX] thoả mãn [TEX]p^3+q^3+1=(pq)^2[/TEX]

Bài 3: Tìm các số nguyên tố [TEX]p[/TEX] sao cho [tex]\frac{p^2-p-2}{2}[/tex] là lập phương của đúng 1 số tự nhiên.


Giúp mình gấp với ạ... Mình cảm ơn nhiều <3

@ankhongu @Mộc Nhãn

 

[mbappe2k5]

Bài 1: Cho các số nguyên dương [TEX]m, n[/TEX] thoả mãn [TEX]m+n+1[/TEX] là 1 ước nguyên tố của [TEX]2(m^2+n^2)-1[/TEX].
CMR: [TEX]m=n[/TEX]

Bài 2: Tìm các số nguyên tố [TEX]p, q[/TEX] thoả mãn [TEX]p^3+q^3+1=(pq)^2[/TEX]

Bài 3: Tìm các số nguyên tố [TEX]p[/TEX] sao cho [tex]\frac{p^2-p-2}{2}[/tex] là lập phương của đúng 1 số tự nhiên.


Giúp mình gấp với ạ... Mình cảm ơn nhiều <3

@ankhongu @Mộc Nhãn

Bạn tham khảo bài 3 nhé, đây chính là bài trong đề HSG TP Hà Nội 2015.

Nguồn: Hexagon

 

[mbappe2k5]

Bạn tham khảo bài 3 nhé, đây chính là bài trong đề HSG TP Hà Nội 2015.
View attachment 133091
Nguồn: Hexagon

Bài 1: Cho các số nguyên dương [TEX]m, n[/TEX] thoả mãn [TEX]m+n+1[/TEX] là 1 ước nguyên tố của [TEX]2(m^2+n^2)-1[/TEX].
CMR: [TEX]m=n[/TEX]

Bài 2: Tìm các số nguyên tố [TEX]p, q[/TEX] thoả mãn [TEX]p^3+q^3+1=(pq)^2[/TEX]

Bài 3: Tìm các số nguyên tố [TEX]p[/TEX] sao cho [tex]\frac{p^2-p-2}{2}[/tex] là lập phương của đúng 1 số tự nhiên.


Giúp mình gấp với ạ... Mình cảm ơn nhiều <3

@ankhongu @Mộc Nhãn

Bài 2:
Giả sử [TEX]m>n[/TEX] (với [TEX]m<n[/TEX] chứng minh tương tự).
Ta có:
[tex]2(m^2+n^2)-1=(m+n)^2-1+(m-n)^2=(m+n-1)(m+n+1)+(m-n)^2[/tex].
Mà [TEX]m+n+1[/TEX] là ước nguyên tố của [TEX] 2(m^2+n^2)-1[/TEX] nên [tex](m-n)^2\vdots (m+n+1)[/tex] hay [tex](m-n)\vdots (m+n+1)[/tex].
Mà [TEX]m>n[/TEX] và [TEX]m+n+1>0[/TEX] nên [TEX]m-n\geq m+n+1[/TEX] tức là [TEX]0\geq 2n+1[/TEX] (vô lí vì [TEX]n[/TEX] nguyên dương).
Vậy [TEX]m=n[/TEX].

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Bài 2:
Giả sử [TEX]m>n[/TEX] (với [TEX]m<n[/TEX] chứng minh tương tự).
Ta có:
[tex]2(m^2+n^2)-1=(m+n)^2-1+(m-n)^2=(m+n-1)(m+n+1)+(m-n)^2[/tex].
Mà [TEX]m+n+1[/TEX] là ước nguyên tố của [TEX] 2(m^2+n^2)-1[/TEX] nên [tex](m-n)^2\vdots (m+n+1)[/tex] hay [tex](m-n)\vdots (m+n+1)[/tex].
Mà [TEX]m>n[/TEX] và [TEX]m+n+1>0[/TEX] nên [TEX]m-n\geq m+n+1[/TEX] tức là [TEX]0\geq 2n+1[/TEX] (vô lí vì [TEX]n[/TEX] nguyên dương).
Vậy [TEX]m=n[/TEX].

Cho mình hỏi tí....
Bài này là ta giả sử
Vì m và n ..... nên không mất tính tổng quát ta giả sử m>n
(Cái chỗ ... là gì ấy nhỉ? Tự nhiên quên )

 

[mbappe2k5]

Cho mình hỏi tí....
Bài này là ta giả sử
Vì m và n ..... nên không mất tính tổng quát ta giả sử m>n
(Cái chỗ ... là gì ấy nhỉ? Tự nhiên quên )

... là "có vai trò như nhau".
Thật ra ở đây bạn giả sử thế cũng được, hoặc làm như mình, trường hợp [TEX]m<n[/TEX] chứng minh tương tự thôi.