Số nguyên tố

[girl_thuy_kute]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho 7p+q và pq+11 cũng là số nguyên tố.

 

[minhhieupy2000]

Nhận thấy $p;\ q \ge 3$ vì $p=2;q=2 $ không thỏa mãn.
Nếu $ pq+11$ là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ do nó là số nguyên tố $>2$
Suy ra ít nhất$ 1$ trong$ 2$ số$ p$ và q bằng$ 2$ (số nguyên tố chẵn)
Giả sử $p=2$ khi đó
$ ~$$7p+q=7.2+q=14+q$
$\ \ \ \ \ \ \ $ -Nếu $q=2 $thì $7p+q= 7.2+2=16$(loại)
$\ \ \ \ \ \ \ $ -Nếu $q=3 $thì $ pq+11=2.3+11=17$(thỏa mãn)
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ $ \ \ \ 7p+q=7.2+3=17 $ (thỏa mãn)
$\ \ \ \ \ \ \ $ -Nếu $q=3k+1 \ \ (k \in N)$ thì $7p+q=14+3k+1=3(k+5)$(loại)
$\ \ \ \ \ \ \ $- Nếu $q=3k+2 \ \ (k \in N)$ thì $pq+11=2q+11=2(3k+2)+11=6k+15=3(2k+5)$(loại)
\Rightarrow $p=2;\ q=3 $
Chứng minh tương tự với $q=2$ ta thu được $q=2;\ p=3$
Vậy .................

 

[thangvegeta1604]

Vì pq+11 là số nguyên tố mà nó lớn hơn 2\Rightarrow pq+11 lẻ.
\Rightarrow pq chẵn\Rightarrow p chẵn (bằng 2) hoặc q chẵn (bằng 2) hoặc cả p và q đều chẵn (bằng 2).
Xét từng TH: TH1: p=2.
7p+q=14+q và pq+11=2q+11.
Vì các số nguyên tố lớn hơn 2 và 3 đều có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k$\in$N*)
Áp dụng vào bài toán: Nếu q=2 thì 7p+q=16 (loại)
Nếu q=3 thì 7p+q=17 và pq+11=17 (nhận)
Nếu q=3k+1 thì 7p+q=15+3k=3(5+k) (loại)
Nếu q=3k+2 thì pq=6k+15=3(2k+5) (loại)
Vậy p=2; q=3.
Xét tương tự các TH còn lại.