[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
cmr với n là nguyên tố thì (n-1)*(n+1)chia hết cho 24
Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ.
suy ra: p = 2k + 1
(p-1)(p+1) = 2k(2k + 2) = 4k(k+1)
vì k(k+1) luôn chi hết cho 2 nên (p-1)(p+1) chi hết cho 8.
ta còn phải chứng minh (p-1)(p+1) chia hết cho 3.
thật vậy, vì p là nguyên tố nên p không chia hết cho 3, do đó có 2 khả năng xảy ra
TH1: p chia 3 dư 1, nên p có dạng p = 3n+1
khi đó (p-1)(p+1) = 3n(3n+2) hiển nhiên chia hết cho 3
TH2: p chia 3 dư 2, nên p có dạng p = 3n + 2
khi đó (p-1)(p+1) = (3n+1)(3n+3) = 3(3n+1)(n+1) chia hết cho 3.
Vậy, (p-1)(p+1) chia hết cho 3 và 8 với mọi p là số nguyên tố lớn hơn 3.
mặt khác do 3 và 8 là nguyên tố cùng nhau nên (p-1)(p+1) chia hết cho 8.3 = 24 (ĐPCM)
Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ.
suy ra: p = 2k + 1
(p-1)(p+1) = 2k(2k + 2) = 4k(k+1)
vì k(k+1) luôn chi hết cho 2 nên (p-1)(p+1) chi hết cho 8.
ta còn phải chứng minh (p-1)(p+1) chia hết cho 3.
thật vậy, vì p là nguyên tố nên p không chia hết cho 3, do đó có 2 khả năng xảy ra
TH1: p chia 3 dư 1, nên p có dạng p = 3n+1
khi đó (p-1)(p+1) = 3n(3n+2) hiển nhiên chia hết cho 3
TH2: p chia 3 dư 2, nên p có dạng p = 3n + 2
khi đó (p-1)(p+1) = (3n+1)(3n+3) = 3(3n+1)(n+1) chia hết cho 3.
Vậy, (p-1)(p+1) chia hết cho 3 và 8 với mọi p là số nguyên tố lớn hơn 3.
mặt khác do 3 và 8 là nguyên tố cùng nhau nên (p-1)(p+1) chia hết cho 8.3 = 24 (ĐPCM)
Last edited by a moderator: